【導讀】2．設CBA,,為同階可逆方陣，則??是4維列向量，矩陣),,,(4321?????是三維實向量，則。一定線性無關B．1?Ax的基礎解系中所含向量的個數(shù)是。Ax只有零解，則以下結論正確的是。，即方程個數(shù)小于未知量個數(shù)，則0?p是A的特征向量，則pAp??，將各備選答案代入驗證，可知。A的三個特征值分別為321,,???13．設方陣A滿足OEAA???14．實數(shù)向量空間}0|),,{(321321????V就是齊次方程組0321???xxx的解向量組，它的基礎解系含有。是非齊次線性方程組bAx?利用例7的結論：?

　　

【正文】 ：本卷中， AT 表示矩陣 A 轉置， det(A)表示方陣 A 的行列 式，A1表示方陣 A 的逆矩陣， (? ， ? )表示向量 ? ， ? 的內(nèi)積， E 表示單位矩陣． 一、單項選擇題 (本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分 ) 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。 1．設 A 是 4 階方陣，且 det(A)=4，則 det(4A)=( ) A． 44 B． 45 C． 46 D． 47 2．已知 A2+A+E=0， 則 矩陣 A1=( ) A． A+E B． AE C． AE D． A+E 3．設矩陣 A， B， C， X 為同階方陣，且 A， B 可逆， AXB=C，則矩陣 X=( ) A． A1CB1 B． CA1B1 C． B1A1C D． CB1A1 4．設 A 是 sn 矩陣 (s≠n)，則以下關于矩陣 A 的敘述正確的是 ( ) A． ATA 是 ss 對稱矩陣 B． ATA=AAT C． (ATA)T =AAT D． AAT 是 ss 對稱矩陣 5．設 ? 1， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5是四維向量，則 ( ) A． ? l， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5 一定線性無關 B． ? l， ? 2， ? 3， ? 4， ? 5一定線性相關 C． ? 5一定可以由 ? 1， ? 2， ? 3， ? 4 線性表出 D． ? 1一定可以由 ? 2， ? 3， ? 4， ? 5線性表出 30 6．設 A 是 n 階方陣，若對任意的 n 維向量 X 均滿足 AX=0，則 ( ) A． A=0 B． A=E C．秩 (A)=n D． 0秩 (A)n 7．設矩陣 A 與 B 相似，則以下結論 不正確 ． ． ． 的是 ( ) A．秩 (A)=秩 (B) B． A 與 B 等價 C． A 與 B 有相同的特征值 D． A 與 B 的特征向量一定相同 8．設 1? ， 2? ， 3? 為矩陣 A=??????????200540093 的三個特征值，則1? 2? 3? =( ) A． 10 B． 20 C． 24 D． 30 9．二次型 f(x1， x2， x3)= 323121232221 222 xxxxxxxxx ????? 的秩為 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10．設 A， B 是正定矩陣，則 ( ) A． AB 一定是正定矩陣 B． A+B 一定是正定矩陣 C． (AB)T 一定是正定矩陣 D． AB 一定是負定矩陣 二、填空題 (本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分 ) 請在每小題的空格中填上正確答案。填錯、不填均無分。 11．設 A= ???????? 11 01， k 為正整數(shù)，則 Ak= ． 12．設 2 階可逆矩陣 A 的逆矩陣 A1= ???????? 43 21 ，則矩陣 A=__________． 13．設同階方陣 A， B 的行列式分 別 為 3， 5，則 det（ AB） =_________. 14．設向量 ? =(6, 2, 0, 4), ? =（ 3， 1， 5， 7），向量 ? 滿足 2? +? =3? , 則 ? =____________. 15．實數(shù)向量空間 V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的維數(shù)是_______． 31 16．矩陣 A=????????????????541420713032的秩 =___________. 17．設 21??, 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個解，則 A（ 3 21 7??? ）=_________. 18．設方陣 A 有一個特征值為 0，則 det(A3)=__________. 19．設 P 為正交矩陣，若（ Px, Py） =8, 則（ x, y） =_________. 20．設 f(x1， x2， x3)= 3121232221 2224 xxxtxxxx ???? 是正定二次型，則 t 滿足_____. 三、計算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 21．計算行列式bacc2c2b2cabb2a2a2cba?????? 22．判斷矩陣 A=??????????????7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩陣． 23．求向量組 1? =(1， 2， 1， 2), 2? =(2， 5， 6， 5), 3? =(3， 1， 1， 1), 4? =(1， 2， 7， 3)的一個最大線性無關組，并將其余向量通過該最大線性無關組表示出來． 24．求齊次線性方程組???????????????????03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx 的一個基礎解系及其結構解． 25．求矩陣 A=????????????? 3142281232 的特征值和特 征向量． 26．寫出下列二次型的矩陣，并判斷其是否是正定二次型． f(x1， x2， x3)= 3231212221 6223 xxxxxxxx ???? 四、證明題 (本大題共 1 小題， 6 分 ) 32 27．設方陣 A 滿足 (A+E)2=E，且 B 與 A 相似，證明： B2+2B=0． 全國 2021 年 4 月高等教育自學考試 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼： 04184 說明： AT表示矩陣 A的轉置矩陣， A*表示矩陣 A的伴隨矩陣， E是單位矩陣， |A|表示方陣A 的行列式 . 一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2分，共 20分） 在每小題列出的四 個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。 1．下列等式中，正確的是（ ） A． B． 3 = C． 5 D． 2．下列矩陣中，是初等矩陣的為（ ） A． B． C． D． 3．設 A、 B 均為 n 階可逆矩陣，且 C= ，則 C1 是（ ） A． B． C． D． 4．設 A 為 3 階矩陣， A 的秩 r (A)=3，則矩陣 A*的秩 r (A*)=（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 5． 設向量 ，若有常數(shù) a,b使 ，則（ ） 33 A． a=1, b=2 B． a=1, b=2 C． a=1, b=2 D． a=1, b=2 6．向量組 的極大線性無關組為（ ） A． B． C． D． 7．設矩陣 A= ，那么矩陣 A 的列向量組的秩為（ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 8．設 是可逆矩陣 A的一個特征值，則矩陣 有一個特征值等于（ ） A． B． C． D． 9．設矩陣 A= ，則 A 的對應于特征值 的特征向量為（ ） A．（ 0， 0， 0） T B．（ 0， 2， 1） T C．（ 1， 0， 1） T D．（ 0， 1， 1） T 10．二次型 222121321 2),( xxxxxxxf ??? 的矩陣為（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2分，共 20分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 11．行列式 __________. 34 12．行列式2235001011110403??中第 4 行各元素的代數(shù)余子式之和為 __________. 13．設矩陣 A= ， B=（ 1， 2， 3），則 BA=__________. 14．設 3 階方陣 A 的行列式 |A|=21，則 |A3|=__________. 15．設 A， B 為 n 階方陣，且 AB=E， A1B=B1A=E，則 A2+B2=__________. 16．已知 3 維向量 =（ 1， 3， 3）， （ 1， 0， 1）則 +3 =__________. 17．設向量 =（ 1， 2， 3， 4），則 的單位化向量為 __________. 18．設 n 階矩陣 A 的各行元素之和均為 0，且 A 的秩為 n1，則齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 __________. 19．設 3 階矩陣 A 與 B 相似，若 A 的特征值為41,31,21，則行列式 |B1|=__________. 20．設 A= 是正定矩陣，則 a 的取值范圍為 __________. 三、計算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54分） 21．已知矩陣 A= ， B= ， 求：（ 1） ATB； （ 2） |ATB|. 22．設 A= ， B= ， C= ，且滿足 AXB=C，求矩陣 X. 23．求向量組 =（ 1, 2, 1, 0） T， =（ 1, 1, 1, 2） T， =（ 3, 4, 3, 4） T， =（ 4, 5, 6, 4） T的秩與一個極大線性無關組 . 24．判斷線性方程組?????????????????1542421343143214321xxxxxxxxxxx 是否有解，有解時求出它的解 . 25．已知 2 階矩陣 A 的特征值為 =1， =9，對應的特征向量依次為 =（ 1， 1） T， =（ 7， 1） T，求矩陣 A. 26．已知矩陣 A 相似于對角矩陣 Λ = ，求行列式 |AE|的值 . 四、證明題（本大題共 6 分） 35 27．設 A 為 n 階對稱矩陣， B 為 n 階反對稱矩陣 .證明： （ 1） ABBA 為對稱矩陣； （ 2） AB+BA 為反對稱矩陣 .