【正文】 =A的行秩=秩（A）此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構造一個矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關組.例3 求出下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出：　　解：把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地為向量組的一個極大無關組，而且（四）向量空間 1． 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實列向量全體（或實行向量全體）構成的集合稱為實n維向量空間，記作定義2 設V是n維向量構成的非空集合，若V對于向量的線性運算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2． 向量空間的基與維數設V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數.顯然，n維向量空間的維數為n，且中任意n個線性無關的向量都是的一個基.3． 向量在某個基下的坐標設是向量空間V的一個基，則V中任一個向量都可以用唯一地線性表出，由r個表出系數組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標.第四章 線性方程組（一） 線性方程組關于解的結論定理1 設為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當n元非齊次線性方程組有解時，即時，那么（1）有唯一解；（2）有無窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質與解空間首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運算及數乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個子空間，我們稱V為方程組的解空間（三）齊次線性方程組的基礎解系與通解把n元齊次線性方程組的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎解系.當n元齊次線性方程組有非零解時，即時，就一定存在基礎解系，且基礎解系中所含有線性無關解向量的個數為求基礎解系與通解的方法是：對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎解系.　　 例1 求的通解　　解：對系數矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為寫成向量形式，令，為任意常數，則通解為可見，為方程組的一個基礎解系.（四）非齊次線性方程組1． 非齊次線性方程組與它對應的齊次線性方程組（即導出組）的解之間的關系設為一個n元非齊次線性方程組，為它的導出組，則它們的解之間有以下性質：性質1 如果是的解，則是的解性質2 如果是的解，是的解，則是的解由這兩個性質，可以得到的解的結構定理：定理 設A是矩陣，且，則方程組的通解為其中為的任一個解（稱為特解）,為導出組的一個基礎解系.　　2．求非齊次線性方程組的通解的方法對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.　　 例2 當參數a，b為何值時，線性方程組有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時，求出通解.　解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：