數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)外文翻譯---冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其應(yīng)用-其他專(zhuān)業(yè)-資料下載頁(yè)
2025-01-19 11:53本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】1Maclaurin(Maclaurin)formula. Among. Ifso,get. ,(9-5-2). Atthispoint,Thus,when. There,Viceversa.Thatif. Unitsmust. .(9-5-4). ,(9-5-5). PowerSeries. Example1. Solutionbecause. Therefore. ,(9-5-6). Because. ()，且,Therefore. there. Fromthis
【正文】 ()．稱(chēng)(952)式為馬克勞林公式．公式說(shuō)明，任一函數(shù)只要有直到階導(dǎo)數(shù)，就可等于某個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和．我們稱(chēng)下列冪級(jí)數(shù) (953)為馬克勞林級(jí)數(shù)．那么，它是否以為和函數(shù)呢?若令馬克勞林級(jí)數(shù)(953)的前項(xiàng)和為，即，那么，級(jí)數(shù)(953)收斂于函數(shù)的條件為．注意到馬克勞林公式(952)與馬克勞林級(jí)數(shù)(953)的關(guān)系，可知．于是，當(dāng)時(shí)，有．反之亦然．即若則必有．這表明，馬克勞林級(jí)數(shù)(953)以為和函數(shù)馬克勞林公式(952)中的余項(xiàng) (當(dāng)時(shí))．這樣，我們就得到了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：(954)它就是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式，也就是說(shuō)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的．事實(shí)上，假設(shè)函數(shù)可以表示為冪級(jí)數(shù)， (955)那么，根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，再令(冪級(jí)數(shù)顯然在點(diǎn)收斂)，就容易得到．將它們代入(955)式，所得與的馬克勞林展開(kāi)式(954)完全相同．綜上所述，如果函數(shù)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項(xiàng)以零為極限(當(dāng)時(shí))，那么，函數(shù)就可展開(kāi)成形如(954)式的冪級(jí)數(shù)．冪級(jí)數(shù),稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)．二、 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式利用馬克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，稱(chēng)為直接展開(kāi)法．例1 試將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解 因?yàn)? 所以，于是我們得到冪級(jí)數(shù)， (956)顯然，(956)式的收斂區(qū)間為，至于(956)式是否以為和函數(shù)，即它是否收斂于，還要考察余項(xiàng)．因?yàn)? ()， 且，所以．注意到對(duì)任一確定的值，是一個(gè)確定的常數(shù)，而級(jí)數(shù)(956)是絕對(duì)收斂的，因此其一般項(xiàng)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有，由此可知．這表明級(jí)數(shù)(956)確實(shí)收斂于，因此有 ()．這種運(yùn)用馬克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，雖然程序明確，但是運(yùn)算往往過(guò)于繁瑣，因此人們普遍采用下面的比較簡(jiǎn)便的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法．在此之前，我們已經(jīng)得到了函數(shù)，及的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，運(yùn)用這幾個(gè)已知的展開(kāi)式，通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，可以求得許多函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式．這種求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的方法稱(chēng)為間接展開(kāi)法．例2 試求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式．解 因?yàn)?，?（），所以根據(jù)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則，可得,（）．三、 函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的應(yīng)用舉例冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用很廣泛，例如可利用它來(lái)對(duì)某些數(shù)值或定積分值等進(jìn)行近似計(jì)算．例3 利用的展開(kāi)式估計(jì)的值．解 由于，又因， ()，所以有．可用右端級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和作為π的近似值．但由于級(jí)數(shù)收斂的速度非常慢，要取足夠多的項(xiàng)才能得到π的較精確的估計(jì)值．此外文文獻(xiàn)選自于：(英文版)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社.
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