數(shù)學與應用數(shù)學本科-淺談冪級數(shù)展開式的應用-資料下載頁
2025-11-28 08:53本頁面
【導讀】在數(shù)學中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應用廣泛的函數(shù)級數(shù)。冪級數(shù)在微積分中也是個重。要的題材，許多重要的函數(shù)可表成冪級數(shù)，而冪級數(shù)全體也代表了相當廣泛的函數(shù)類別。本文中簡介了冪級數(shù)的簡單知識，注重探討了冪級數(shù)展開式各方面的應用。從某種意義上說，可以看作是多項式的延伸。冪級數(shù)在理論和實際上有很多的應用，尤其是在表示函數(shù)方面。則其和函數(shù)也在這一端上左（右）連續(xù)。fx在x可導，且??fx在0與x這個區(qū)間上可積，且??內(nèi)連續(xù)，若冪級數(shù)在x????內(nèi)每一點都是可導的，且有可導公式：。分后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。過計算過程也要注意計算方法的使用。例1：求冪級數(shù)??有冪級數(shù)的逐項可導性得??
【正文】 用純虛數(shù) ix 代替是變量 x 有 ? ? ? ? ? ?2 3 401 1 11! 2 ! 3 ! 4 !nxnxe ix ix ix ixn??? ? ? ? ? ? ?? 因為 ? ?41nii? ? ， ? ?42 1ni ? ?? ， ? ?43nii? ?? ， ? ?441ni ? ? 0,1,2n? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 9 所以 2 4 3 51 c o s s in2 ! 4 ! 3 ! 5 !ix x x x xe i x x i x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 即 cos si nixe x i x?? （ *） 在（ *）式中 x? 置換 x 可得 cos si nixe x i x?? （ **） 由（ *）和（ **）式聯(lián)立解得： sin 2tx txeex i ??? ， cos 2tx txeex ??? 例 : 求 ? ? ? ?2ln 1f x x a rc a n x x? ? ?在 0x? 的 n 階導數(shù) 解： 因為函數(shù) ? ?2211xxf x a r c a n x a r c a n x? ? ? ??? ? ? ? ?2 4 22 111 n nxf x x x xx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?x? ? ? 進行兩次積分得： ? ? ? ? ? ?3 5 2 10 1 1 113 5 2 1x n nf x f x d t x x x xn ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21460 1 1 1 12 3 4 5 6 2 1 2 2nx n xf x f x d t x x x nn ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?11x? ? ? 則 ? ? ? ? ? ?? ?? ?2 0 1 12 2 2 1nfnn n n??? ?，即 在證明不等式時可以巧妙利用函數(shù)冪級數(shù)展開式，能將問題化難為易。 例： 證明：當 0x? 時， 3 si n (2 cos )x x x?? 證明 ：有三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式易知 3 5 3 533 s in 3 33 ! 5 ! 2 ! 5 !x x x xx x x??? ? ? ? ? ????? 0x? 且 ? ? 2 4 6 3 5 72 c o s 2 1 32 ! 4 ! 6 ! 2 ! 4 ! 6 !x x x x x xx x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 0x? 又 5 6 534! 6! 5!x x x?? 即 1 3 14! 5! 6!?? 則 2 1 3 26 ! 6 ! 1 24 ! 5 ! 5 !x ??? ? ? ? ? ????? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 10 故當 0 12x?? 時不等式成立。 冪級數(shù)在組合恒等式中用重要的作用。 例： 證明 ? ?220 knnnk cc?? ?? 證明： 由二項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式 ? ?01n kknkx c x?????得 ? ? 2001n k k k knnkkx c x c x????? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? 在上式的乘積中， 2x 的系數(shù)為00k n k k k kn n nkkc c x c x????????，從展開式中 ? ?2201 n kknkx c x???????????知 nx 的系數(shù)為 2nnc ，因而得等式 ? ?220 knnnk cc?? ?? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 11 參考文獻 [1] 華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析 [M].北京：高等教育出版社 .2021 [2] 劉玉蓮 . 數(shù)學分析講義 [M]. 北京：高等教育出版社 .2021. [3] 裴禮文 .數(shù)學分析中的典型問題與方法 [M]. 北京：高等教育出版社 .1983. [4] 秦曾復 .于躍年 .高等數(shù)學講義 [M].上海：復旦大學出版社， [5] 羅振聲 .劉曉華 .高等數(shù)學概論與方法 [M].電子科技出版社， [6] 吳迪光 .張彬 .微積分（下冊） [M].杭州：浙江大學出版社， 致 謝 在此，我對在論文寫作過程中給予我?guī)椭睦蠋煛⑼瑢W 表示感謝！
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鄂ICP備17016276號-1