數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科-淺談冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用(參考版)
2024-12-11 08:53本頁(yè)面
【正文】 冪級(jí)數(shù)在組合恒等式中用重要的作用。 例： 證明 ? ? 22401c o s 1 2 2 ! 4 4 ! 2 2 !n nx xt x xdtt n n??? ? ? ? ?? ? ?? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 7 證明 ：因?yàn)?? ? ? ?20c o s 1 2!n nnxx n????? ? ?,x? ??? 所以0 cosx tdtt? = ? ? ? ?210 0 1 2!n nxnt dtn??? ??? = ? ? ? ? 210011 2!n x nn d t t d tn? ?? ?? ? = ? ? 224 11 2 2 ! 4 4 ! 2 2 !n nxxx nn??? ? ? ?? ? ? （ x ＜ ? 求函數(shù)極限的方法很多，冪級(jí)數(shù)法也是其中之一 例 ： 求 30 arcsinlim sinx xxx? ? 解 ：因?yàn)?351 1 3a r c s in 2 3 2 4 5xxxx? ? ? ? ? ? ? ? ?1x? 353 3 51 3 3 3 3s in4 3 ! 5 !x x x????? ? ?????， ? ?x?? 所以253 3500351 1 12 3 2 4 5a r c si nl i m l i msi n 1 3 3 3 34 3! 5 !xxxxxxxxx xx????? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? = ? ?? ?3333016limxx o xx o x???? 16?? 例 ：求 ? ?1 13nnnn?? ??? 解： 設(shè) ? ?0 1nnns x xn??? ?? ? ?11x? ? ? =01 1nnn xxn??????????? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 8 =? ? ? ? ? ?? ?? ?0 0 011111l n 1 111 l n 11 1 11 1 0111nx x xnnnxnnnx xxx g x dx dx x xx x x xxxxnxxx g x xnx???? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ??? ????????? ? ???? =111nnxxxn?????? 設(shè) ? ?1 1nnxgx n??? ?? ? ?11x? ? ? ，則 ? ? 11 1nnxxg x n ???? ??， 且 ? ? 11111n nx nnnxxx g x xnx? ??????? ? ??? ?????????? 從而 ? ? ? ?0 0 011 l n 11 1 1x x xxxx g x d x d x x xx x x?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 當(dāng) 0x? 時(shí)， ? ? ? ?ln 11 xgx x?? ? ? 此時(shí)， ? ? ? ?11l n 1 l n 1111 1 1 1 1nnnnxxn x xxxn x n x x x x??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 令 13x? ，可得? ? ? ?1 l n 11 1113 1 33nn xnn??????? ??323ln23?? 例 ： 試用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式來(lái)推導(dǎo)歐拉公式： sin 2tx txeex i ??? ， cos 2tx txeex ??? 解 ：當(dāng) x 為實(shí)數(shù)時(shí)，有指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)知0 !nxnxe n???? ? ?,x? ??? 用純虛數(shù) ix 代替是變量 x 有 ? ? ? ? ? ?2 3 401 1 11! 2 ! 3 ! 4 !nxnxe ix ix ix ixn??? ? ? ? ? ? ?? 因?yàn)?? ?41nii? ? ， ? ?42 1ni ? ?? ， ? ?43nii? ?? ， ? ?441ni ? ? 0,1,2n? 2021 屆本科生畢業(yè)論文 9 所以 2 4 3
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1