北京市20xx屆高三高考數(shù)學(xué)押題仿真卷(二)【含解析】-資料下載頁
2025-04-05 06:03本頁面
【正文】 y0nx0y0n，從而|OE|=|ty0nx0y0n|，同理即可求得|OF|=|ty0+nx0y0+n|，則|OE|?|OF|=|ty0nx0y0n|?|ty0+nx0y0+n|=|t2y02n2x02y02n2|=|4y024n2y02n2|=4．解：（Ⅰ）當(dāng)t＝1時(shí)，將x＝1代入x24+y22=1，解得：y=177。62，∴|AB|=6．[]當(dāng)M為橢圓C的頂點(diǎn)（﹣2，0）時(shí)，M到直線x＝1的距離取得最大值3，[]∴△MAB面積的最大值是362．[]（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（t，n），B（t，﹣n），從而t2+2n2＝4．[]設(shè)M（x0，y0），則有x02+2y02=4，x0≠t，y0≠177。n．[]直線MA的方程為yn=y0nx0t(xt)，[]令y＝0，得x=ty0nx0y0n，從而|OE|=|ty0nx0y0n|．[]直線MB的方程為y+n=y0+nx0t(xt)，[]令y＝0，得x=ty0+nx0y0+n，從而|OF|=|ty0+nx0y0+n|．[]所以|OE|?|OF|=|ty0nx0y0n|?|ty0+nx0y0+n|=|t2y02n2x02y02n2|，=|(42n2)y02n2(42y02)y02n2|，[]=|4y024n2y02n2|=4．∴|OE|?|OF|為定值．[]21．?dāng)?shù)字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一個(gè)排列記作（a1，a2，…，an），設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．集合An＝{（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn＝{（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整數(shù)i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．（Ⅰ）用列舉法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù)；（Ⅲ）記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn．證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）集合A3屬于單調(diào)遞增排列，集合B3屬于實(shí)數(shù)對(duì)，利用列舉法表示集合A3，B3即可；（Ⅱ）根據(jù)題意知An＝{（1，2，3，…，n）}、（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An?Bn．所以集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù)為1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．因?yàn)锽2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．當(dāng)n≥3時(shí)，考慮Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．分類討論：（1）假設(shè)ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），依此類推，若ak＝n，則ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．①若k＝1，則滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1個(gè)．②若k＝2，則a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．③若2＜k＜n，（2）假設(shè)an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的滿足條件的排列，此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1個(gè)．結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明．解：（Ⅰ）A3＝{（1，2，3）}，B3＝{（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考慮集合An中的元素（a1，a2，a3，…，an）．由已知，對(duì)任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有ai﹣i≤aj﹣j，所以（ai﹣i）+i＜（aj﹣j）+j，所以ai＜aj．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，an）是1，2，3，…，n的單調(diào)遞增排列，所以An＝{（1，2，3，…，n）}．又因?yàn)楫?dāng)ak＝k（k∈N*，1≤k≤n）時(shí)，對(duì)任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj+j．所以（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An?Bn．所以集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù)為1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．因?yàn)锽2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．當(dāng)n≥3時(shí)，考慮Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．（1）假設(shè)ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），所以ak+1≥ak+k﹣（k+1）＝n﹣1，又因?yàn)閍k+1≤n﹣1，所以ak+1＝n﹣1．依此類推，若ak＝n，則ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．①若k＝1，則滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1個(gè)．②若k＝2，則a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．所以a1＝1．此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1個(gè)．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…ak﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的滿足條件的一個(gè)排列，就可以相應(yīng)得到1，2，3，…，n的一個(gè)滿足條件的排列．此時(shí)，滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bk﹣1個(gè)．（2）假設(shè)an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的滿足條件的排列，此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1個(gè)．綜上bn＝1+1+b2+b3+…+bn﹣1，n≥3．因?yàn)閎3＝1+1+b2＝4＝2b2，且當(dāng)n≥4時(shí)，bn＝（1+1+b2+b3+…+bn﹣2）+bn﹣1＝2bn﹣1，所以對(duì)任意n∈N*，n≥3，都有bnbn1=2．所以{bn}成等比數(shù)列．
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