20xx屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學預測卷(四)(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 06:01本頁面
【正文】 150（1）判斷是否有99%的把握認為居民對降低租賃住房稅費的態(tài)度與年齡有關?（2）從“認為對租賃住房影響大”的居民中，按照年齡進行分層抽樣，共抽取8人，分析租賃住房需求，再從中隨機抽取3人參與座談，若這3人中年齡在40歲以下的有占人，求的分布列與數學期望．附：．臨界值表：【答案】（1）有；（2）分布列見解析，.【分析】（1）據列聯表計算出，對比臨界值表中數據即可.（2）由分層抽樣的特征確定各年齡層抽取的人數，確定隨機變量的所有可能取值，再求出對應的概率，列出隨機變量的分布列，進一步求解數學期望.【詳解】（1）由題意建立列聯表如下：認為對租賃住房影響大認為對租賃住房影響不大合計年齡在40歲以上125150275年齡在40歲以下75150225合計200300500，所以有99%的把握認為居民對降低租賃住房稅費的態(tài)度與年齡有關．（2）由題意可知，分層抽樣抽取的8人中，年齡在40歲以上的有5人，年齡在40歲以下的有3人，則隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．，，所以隨機變量的分布列為0123．21．已知，分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，點到直線的距離為，橢圓過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線過點，且與軸垂直，為直線上關于軸對稱的兩點，直線與橢圓相交于異于的點，直線與軸的交點為，當與的面積之差取得最大值時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由點到直線的距離得一個的關系式，已知點的坐標代入又得一個關系式，兩者聯立解得，得橢圓方程；（2）設直線的方程為，依次求得點，點，點，點坐標，然后計算面積之差，再結合基本不等式求得最大值．由此可得直線方程．【詳解】（1）由題意知，，則直線的方程為，即，所以點到直線的距離，即．①又橢圓過點，所以．②聯立①②，解得，故橢圓的標準方程為．（2）由（1）知，直線的方程為．由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，聯立解得即，．聯立消去整理得，解得或．由點異于點可得，所以直線的方程為，令，得，所以，所以與的面積之差為．（利用點的對稱關系，將面積差問題轉化為求）因為，當且僅當時取等號．（在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊等技巧）故當與的面積之差取得最大值時，直線的方程為或．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方法：設直線方程為，直線與直線相交得交點坐標，直線與橢圓相交得交點坐標，然后求得三角形面積（之差），再結合基本不等式求得最大值，得出結論．22．已知函數．（1）若函數在區(qū)間上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，討論函數的零點個數，并給予證明．【答案】（1）；（2）當時，函數有且只有一個零點，當時，函數有兩個零點，證明見解析．【分析】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立，求取最大值即可；（2）對參數分類討論，通過對函數求導，分析單調性再結合零點定理即可得出結果．【詳解】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立．當時，所以，故實數的取值范圍為．（2）由已知得，則．當時，函數單調遞減，又，故函數有且只有一個零點．當時，令，得，函數單調遞減，令，得，函數單調遞增，而，（在上恒成立）由于，所以，所以在上存在一個零點．又，且，設，則在上恒成立，故在上單調遞增．而，所以在上恒成立，所以，所以在上存在一個零點．綜上所述，當時，函數有且只有一個零點；當時，函數有兩個零點．【點睛】思路點睛：利用導數的方法判定函數零點個數時，一般需要先對函數求導，利用導數的方法判定函數單調性，確定函數極值和最值，即可確定函數零點個數．（有時也需要利用數形結合的方法進行判斷）第 27 頁 共 27
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