福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列四(三角函數(shù)典例剖析及資源推送)-資料下載頁
2025-04-05 06:00本頁面
【正文】 所以邊上的高為．【練習(xí)20】在△中，內(nèi)角，的對邊分別為，，且，點在邊上，平分．（1）若，求；（2）若，求面積的最小值．【解析】（1）由得，． 2分所以，．因為，所以，又因為，所以．所以，由正弦定理得，因此有．（2）過點D作∥BC交AB于點E，因為BD平分，所以．由得，．因為，所以，即，所以．由得，故（當(dāng)時取號）所以△面積的最大值是．【練習(xí)21】在平面四邊形中, ．（1）求的值。（2）若，求的長．【解析】（1）在中，由余弦定理，得故由題設(shè)知，（2）設(shè)，于是=.在中，由正弦定理,所以.【練習(xí)22】已知函數(shù)由下列四個條件中的三個來確定: ①最小正周期為。②最大值為1。③。④.（1）寫出能確定的三個條件,并求出的解析式。（2）求函數(shù)的值域. 【解析】（1）若函數(shù)滿足條件④,則,這與矛盾，不滿足條件④.所以只能滿足條件①②③,由條件①，,由條件②， 由條件③，,. （2） 所以函數(shù)的值域是.【練習(xí)23】從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，，若 ，且，證明：是等邊三角形．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】證明：選①根據(jù)正弦定理可得， 即，化簡得，因為，所以， 因為，所以， 利用余弦定理，得， 又因為，所以，解得． 因為且，所以是等邊三角形． 選②，因為，代入上式可得， 根據(jù)正弦定理可得， 因為，所以，可得，則， 因為，所以，利用余弦定理，得， 又因為，所以，解得． 因為且，所以是等邊三角形． 選擇③根據(jù)正弦定理可得， 因為，所以，可得， 所以因為，所以，則可得，所以， 利用余弦定理，得， 又因為，所以，解得． 因為且，所以是等邊三角形．【練習(xí)24】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題：在?ABC中，角、對應(yīng)的邊分別為、若，___________，求角的值和的最小值.【解析】若選擇①：在中，有，則由題可得：，，又，所以，則.又，所以，因為，所以，.由余弦定理可得：，又，所以，當(dāng)時，即的最小值為；若選擇②：在中，有，則由題可得，解得或（舍去），又，所以.（剩下同①）若選擇③：由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為，代入上式得，又，所以，.又，所以.（剩下同①）【練習(xí)25】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求證：當(dāng)時，．【解析】（1）由得，.所以函數(shù)的定義域為.（2）由得：，又，所以曲線在點處的切線方程為：.（3）由（2）得，.當(dāng)時，與單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.【練習(xí)26】已知函數(shù).（1）求證：的導(dǎo)函數(shù)在上存在一零點；（2）求證：有且僅有兩個不同的零點.【解析】（1）因為，所以設(shè)，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，又因數(shù)，且當(dāng)時，的圖像不間斷，所以在上有唯一的零點，所以命題得證.（2）①由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一的極大值點，所以，又因為，所以在上恰有一個零點.又因為，所以在上也恰有一個零點.②當(dāng)時，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即在上沒有零點.③當(dāng)時，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，恒成立.所以在上沒有零點.綜上，有且僅有兩個零點.【練習(xí)27】（1）求函數(shù)在的最大值；（2）證明：函數(shù)在有兩個極值點，且.【解析】（1），則在上單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點.當(dāng)時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.又，所以在的最大值為.（2），則當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點，此時，時，；時，所以是極小值點，不妨令.當(dāng)時，所以；當(dāng)，設(shè).由（1）知， 有唯一的零點，則時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增又，所以在有唯一的零點，此時時，；時，所以是極大值點，即，所以在有兩個極值點，其中，且，由于，所以.因為，所以，即.又，所以，同理，所以. 【練習(xí)28】已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極大值點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，∴，令，則，在上單調(diào)遞減，∵，∴時，時，.當(dāng)時，，∴，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則，，當(dāng)，時，單調(diào)遞減，∴時，，∴，即在上單調(diào)遞增，時，，∴，即在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點，滿足題意；當(dāng)時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，∴，這與是函數(shù)的極大值點矛盾.綜上，.
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