20xx屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期模擬試題數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-05 05:17本頁面
【正文】 題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．已知函數(shù)的圖象在處切線與直線平行.（1）求實(shí)數(shù)的值，并判斷的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明.【答案】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題設(shè)條件，得出，求得，代入導(dǎo)數(shù)，結(jié)合和，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得，根據(jù)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，得到，兩式相減整理得 ，構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處切線與直線平行，可得，解得，所以，則，由，即，得，故在上單調(diào)遞減；由，即，得，故在上單調(diào)遞增.（2）由，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，兩式相減，可得，整理得，即，所以，令，由，知，則 構(gòu)造函數(shù)，則有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的普通方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）過直線上的任意一點(diǎn)向曲線引切線，為切點(diǎn)，求切線的最短長度．【答案】（1）， （為參數(shù)）；（2）.【分析】（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，可求得直線的普通方程，化簡圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓的參數(shù)方程的形式，即可求解；（2）由切線長公式，可得，結(jié)合圓心到直線的距離，求得的最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的極坐標(biāo)方程為，可得直線的普通方程為，曲線的普通方程為，即所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）綜上可得直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）由切線長公式，可得，要使切線長最短，則需最短，又由的最小值為圓心到直線的距離，即，此時(shí)，所以切線的最短長度為．23．已知不等式的解集為.（1）求集合；（2）已知為集合中的最小正整數(shù)，若，，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）分類討論，去絕對(duì)值，進(jìn)而解不等式即可；（2）由（1）可得，，且，再由，，運(yùn)用基本不等式和不等式的可乘性，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）等價(jià)于或或，解得或或，則；（2）證明：由（1）可得，，且，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.22
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