高中人教版數(shù)學(xué)必修4學(xué)案：241-平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義-【含解析】-資料下載頁(yè)
2025-04-03 04:20本頁(yè)面
【正文】 。b＝|a||b|cos＝55＝，∴|a＋b|＝＝＝ ＝5，|a－b|＝＝＝＝5，|3a＋b|＝＝＝＝5.(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12ab＋4|b|2＝925－12ab＋425＝325－12ab，又|3a－2b|＝5，∴325－12ab＝25，則ab＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6ab＋b2＝925＋625＋25＝|3a＋b|＝20.(3)設(shè)＝a，＝b，則|a|＝3，|b|＝1，a與b的夾角θ＝.∴ab＝|a||b|cos θ＝.又∵＝a＋b，＝a－b，∴||＝＝＝＝，||＝＝＝＝.∴AC＝，BD＝.[能力提升](20分鐘，40分)11．已知O為平面內(nèi)的定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若(－)(＋－2)＝0，則△ABC是( )A．以AB為底邊的等腰三角形B．以BC為底邊的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形D．以BC為斜邊的直角三角形解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則化簡(jiǎn)(－)(＋－2)＝0，得到(＋)＝(2)＝2＝0，則＝0，∴⊥，∴AM是△ABC的邊BC上的中線，也是高，故△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．答案：B12．設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且互不共線，給出以下命題：①(ab)c－(ca)b＝0；②(bc)a－(ca)b不與c垂直；③(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中為正確命題的是________(填序號(hào))．解析：(ab)c表示與向量c共線的向量，(ca)b表示與向量b共線的向量，而b，c不共線，所以①錯(cuò)誤；[(bc)a－(ca)b]c＝0，即(bc)a－(ca)b與c垂直，故②錯(cuò)誤；顯然③正確．答案：③13．已知向量a，b的夾角為30176。，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b與q＝a－b的夾角θ的余弦值．解析：pq＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，|q|＝|a－b|＝＝＝1，∴cos θ＝＝＝.14．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.(1)求a與b的夾角θ；(2)求(a－2b)b；(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？解析：(1)由題意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影為|a|cos θ＝－1，∴cos θ＝－，∴θ＝.(2)易知ab＝－1，則(a－2b)b＝ab－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，∴(λa＋b)(a－3b)＝λa2－3λab＋ba－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝. 13
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