20xx屆江西省奉新縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:05本頁(yè)面
【正文】 查證明線面平行，考查二面角問(wèn)題，解題方法是空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系后，證明線面平行，只要證明直線的方向向量可用平面的一個(gè)基底表示即可，而二面角則是利用二面角的余弦值與二面角的兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值相等或相反求解．21．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓的上頂點(diǎn)，以為圓心且過(guò)的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點(diǎn).（?。┤糁本€的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點(diǎn)在上，.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【分析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可求面積表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點(diǎn)，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，又，則以為圓心且過(guò)的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：， 將代入得：，所以且，故.又，點(diǎn)到直線的距離，所以，等號(hào)當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取，即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，由（?。┲核?，所以，解得，直線過(guò)定點(diǎn)或，所以D在以O(shè)Z為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點(diǎn)或，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若時(shí)，恒成立，證明：.【答案】（1）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，知在上單調(diào)遞增，又，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知存在唯一的，使，得，求出的最小值，推出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出極小值，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為. （2）在上單調(diào)遞增， ，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的，使，即，得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即的最小值, 又恒成立，得， ， 設(shè)，求導(dǎo) ，令，得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí)，極小值 ，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題，常用的方法：①首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．②也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．22
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