【正文】 件一定是互斥事件,而互斥事件未必是對(duì)立事件.(1)任何事件A的概率都在0~1之間,即0≤P(A)≤1.(2)若A?B,則P(A)≤P(B).(3)必然事件發(fā)生的概率為1,不可能事件發(fā)生的概率為0.(4)當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B).注意沒有事件A與事件B互斥這一條件時(shí),這個(gè)公式不成立.(5)若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則P(A)+P(B)=1.提醒當(dāng)一事件的概率不易直接求,但其對(duì)立事件的概率易求時(shí),可運(yùn)用(5),即用間接法求概率.如果隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m,總的基本事件數(shù)為n,則P(A)=事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)總的基本事件的個(gè)數(shù)=mn.提醒求解古典概型問題的步驟(1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件A.(2)分別計(jì)算總的基本事件的個(gè)數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(1)E(k)=k(k為常數(shù)).(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)E(X2).(5)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.(6)若X服從二項(xiàng)公布,即X~B(n,p),則E(X)=np.提醒E(X)是一個(gè)常數(shù),由X的分布列唯一確定,它描述X取值的平均狀態(tài),作為隨機(jī)變量X是可變的,可取不同的值.(1)D(k)=0(k為常數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X).(3)D(X)=E(X2)[E(X)]2.(4)若X1,X2,…,Xn兩兩獨(dú)立,則D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).提醒①隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng),集中與離散程度,其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位.②方差也是一個(gè)常數(shù),它不具有隨機(jī)性,方差的值一定是非負(fù)的.(1)條件概率的計(jì)算公式:當(dāng)P(B)0時(shí),在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率為P(A|B)=P(AB)P(B)。類似地,當(dāng)P(A)0時(shí),在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率為P(B|A)=P(AB)P(A).(2)二項(xiàng)分布:如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ=k)=Cnkpk(1p)nk,其中k=0,1,…,n.(3)①若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(aX≤b)=abφμ,σ(x)dx,其中φμ,σ(x)=12πσe(xμ)22σ2(x∈R,σ0).②正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì):函數(shù)圖象關(guān)于直線x=μ對(duì)稱。σ(σ0)的大小決定函數(shù)圖象的“胖”“瘦”。P(μσx≤μ+σ)= 7,P(μ2σx≤μ+2σ)= 5,P(μ3σx≤μ+3σ)= 3.③在實(shí)際問題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ,σ求出,然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍):(μσ,μ+σ),(μ2σ,μ+2σ),(μ3σ,μ+3σ),與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解.、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì)(1)排列數(shù)①公式Anm=n(n1)(n2)…(nm+1)=n!(nm)!(m≤n,m,n∈N*),Ann=n!=n(n1)(n2)…21(n∈N*),②Anm=n!(nm)!主要有兩個(gè)作用:當(dāng)m,n較大時(shí),可使用計(jì)算器快速算出結(jié)果。對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形時(shí)常使用此公式.(2)組合數(shù)①公式Cnm=AnmAmm=n(n1)…(nm+1)m!=n!m!(nm)!(m≤n,n,m∈N*).②Cnm=n!m!(nm)!主要有兩個(gè)作用:當(dāng)m,n較大時(shí),利用此公式計(jì)算組合數(shù)較為簡(jiǎn)便。對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形或證明時(shí),常用此公式.③組合數(shù)的性質(zhì)Cnm=Cnnm(m≤n,n,m∈N*),Cn+1m=Cnm1+Cnm(m≤n,n,m∈N*),Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+…+Cnn=2n,Cn1+Cn3+Cn5+…=Cn0+Cn2+Cn4+…=2n1.(1)元素相鄰的排列問題——“捆綁”法.(2)元素相間的排列問題——“插空”法.(3)元素有順序限制的排列問題——“除序”法,即先把這幾個(gè)有順序限制的元素及其他元素一同進(jìn)行全排列,然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).(4)帶有“含”“不含”“至多”“至少”的組合(排列)問題——間接法,即先不考慮限制條件求出組合(排列)數(shù),再排除不符合要求的組合(排列)數(shù).(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+Cnranrbr+…+Cnnbn(n∈N*),這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,它一共有n+1項(xiàng),其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnr(r=0,1,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的Cnranrbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tr+1表示,即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng):Tr+1=Cnranrbr(其中0≤r≤n,k∈N,n∈N*).提醒(1)(a+b)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是Cnranrbr,(b+a)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是Cnrbnrar.(2)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)完全不同的概念,二項(xiàng)式系數(shù)與a,b的值無關(guān),項(xiàng)的系數(shù)不僅與項(xiàng)數(shù)有關(guān),也與a,b的值有關(guān).類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣①抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等。②每次抽出個(gè)體后不再將它放回,即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取最基本的抽樣方法總體中的個(gè)體較少分層抽樣將總體分成幾層,分層按比例進(jìn)行抽取分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成提醒用分層抽樣法抽樣時(shí),各層抽樣標(biāo)準(zhǔn)要一致,互不重疊。各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例,即為nN.線性相關(guān)系數(shù)r是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度的,|r|的值越接近于1,說明變量之間的線性相關(guān)程度越高。|r|的值越接近于0,r=177。1,若斜率為正,r=1,否則r=,r為負(fù)時(shí)表示負(fù)相關(guān).(1)利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)列表求出x,y,∑i=1nxi2,∑i=1nxiyi.(3)利用相應(yīng)公式計(jì)算a^,b^.(4)寫出線性回歸方程.提醒回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(x,y),據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題、判斷結(jié)論的正確性.一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如表:y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算由公式K2=n(adbc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)所給出的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k,并且k的值越大,說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大,可以利用數(shù)據(jù)來確定“X和Y有關(guān)系”的可信程度.(1)(a+bi)177。(c+di)=(a177。c)+(b177。d)i.(2)(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.(3)(a+bi)247。(c+di)=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(a,b,c,d∈R,c+di≠0).提醒幾個(gè)結(jié)論:①(1177。i)2=177。2i.②1+i1i=i,1i1+i=i.③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.(4)ω=12177。32i,且ω0=1,ω2=ω,ω3=1,1+ω+ω2=0.