20xx屆二輪復(fù)習(xí)---與球有關(guān)的切、接、截問題----學(xué)案(全國通用)-資料下載頁
2025-04-03 03:12本頁面
【正文】 用技術(shù)》實(shí)踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的半徑是( )A．2 B．4 C．2 D．4B [設(shè)截面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即2，根據(jù)截面圓的周長可得4π＝2πr，得r＝2，故由題意知R2＝r2＋(2)2，即R2＝22＋(2)2＝16，所以R＝4，故選B．]2．(2020全國卷Ⅱ)已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為( )A． B． C．1 D．C [由等邊三角形ABC的面積為，得AB2＝，得AB＝3，則△ABC的外接圓半徑r＝AB＝AB＝.設(shè)球的半徑為R，則由球的表面積為16π，得4πR2＝16π，得R＝2，則球心O到平面ABC的距離d＝＝1，故選C．]3．(2020南開中學(xué)模擬)正三棱錐P173。ABC，Q為BC中點(diǎn)，PA＝，AB＝2，過Q的平面截三棱錐P173。ABC的外接球所得截面的面積范圍為( )A． B．C． D．D [因為正三棱錐P173。ABC，PB＝PC＝PA＝，AC＝BC＝AB＝2，所以PB2＋PA2＝AB2，即PB⊥PA，同理PB⊥PC，PC⊥PA，因此正三棱錐P173。ABC可看作正方體的一角，如圖，記正方體的體對角線的中點(diǎn)為O，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得，O點(diǎn)即是正方體的外接球球心，所以點(diǎn)O也是正三棱錐P173。ABC外接球的球心，記外接球半徑為R，則R＝＝，因為球的最大截面圓為過球心的圓，所以過Q的平面截三棱錐P173。ABC的外接球所得截面的面積最大為Smax＝πR2＝π；又Q為BC中點(diǎn)，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得OQ＝PA＝；由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)OQ垂直于過Q的截面時，截面圓半徑最小為r＝＝1，所以Smin＝πr2＝π.因此，過Q的平面截三棱錐P173。．]4．[一題兩空](2020煙臺模擬)已知三棱錐P173。ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，則：(1)球O的表面積為________；(2)若D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作球O的截面，則截面面積的最小值是________．(1)52π (2)4π [(1)由題意，根據(jù)勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐P173。ABC放入以AP，AC，AB為長方體的長，寬，高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，即2r＝＝2，則r＝，所以球的表面積為4πr2＝4π()2＝52π.(2)由題意，因為Rt△ABC，所以D為底面ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO⊥截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC，則外接圓半徑為2，故截面面積為π22＝4π.]5．(2020新高考全國卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD173。A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60176。，以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________． [如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝，連接D1P，則D1P＝＝＝，連接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M為圓心，為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45176。知∠GMH＝90176。，所以的長為2π＝.]
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