20xx屆陜西省高三下學期教學質量檢測(三)數(shù)學(文)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 00:35本頁面
【正文】 .令（），則.令，則.∵，∴，∴函數(shù)在上單調遞減，∴.∵，∴，∴，∴.【點睛】（1）在判斷導函數(shù)的正負時，要對進行討論，分拆為，兩個簡單的函數(shù)來判斷.（2）將，通過，代換為，減少變量個數(shù)，轉化為關于的函數(shù)來求解是這個題目的關鍵所在.21．已知拋物線（）的焦點為，點是拋物線內一點，若該拋物線上存在點，使得有最小值3.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設直線，點是與軸的交點，過點作與平行的真線，過點的動直線與拋物線相交于，兩點，直線，分別交直線于點，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）利用拋物線定義得，其中點為點在準線上的射影，再根據(jù)拋物線定義得出的最小值的表達式，從而求出的值，即可求解；（Ⅱ）由已知條件可求出直線的方程，再設出直線的方程并代入拋物線中化簡求出，兩點橫坐標之間的關系，從而設出直線，并與直線聯(lián)立求出，同理可得，從而可得的表達式，化簡可得，即可得證.【詳解】（Ⅰ）如圖，過點作拋物線準線的垂線，垂足為點.根據(jù)拋物線定義得，于是，顯然當，三點共線時，有最小值，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：直線，令，得，所以點.因為直線平行于直線，且過點，所以直線.設直線并代入拋物線的方程消去得，.設點，由韋達定理得，易得直線，直線.聯(lián)立解得，同理可得，所以.因為，所以，即是的中點，所以.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）已知點，若和的交點為，求.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用消參法將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程，再利用極坐標方程與直角坐標方程的互化公式即可求解直線的直角坐標方程；（Ⅱ）先將直線的普通方程化為參數(shù)方程，再利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）由已知得曲線：（為參數(shù)），平方后相加得.又，所以曲線的普通方程為（）.因為，即.將，代入即可得到直線.（Ⅱ）顯然點在直線上，直線的斜率為，所以傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓得.設，對應的參數(shù)分別為，由韋達定理得，所以.23．已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）把的值代入，再去絕對值利用零點分段法即可求解；（Ⅱ）先去絕對值，將不等式轉化為與的關系式，再根據(jù)的取值范圍即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）當時，當時，當時，∴，∴.（Ⅱ）當時，.由得，即.∵，∴，∴，即.又∵，∴，即，∴實數(shù)的取值范圍是.25
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