20xx屆安徽省合肥市高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:46本頁面
【正文】 對稱的曲線T與曲線C相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線T經(jīng)過點(diǎn)，．過曲線C上任一點(diǎn)P向曲線T作切線，切點(diǎn)分別為M，N，這兩條切線，分別與曲線C交于點(diǎn)G，H（異于點(diǎn)P）．證明：是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為．【分析】（1）由題意知，且，根據(jù)橢圓的定義得，交點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)以A，Q為焦點(diǎn)的橢圓，由此得出曲線C的方程．（2）由相似的定義得出曲線T的方程為．．分切線的斜率不存在時(shí)和切線和的斜率都存在時(shí)兩種情況分別求得的值，可得證.【詳解】解：（1）由題意知，且，根據(jù)橢圓的定義得，交點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)以A，Q為焦點(diǎn)的橢圓，所以，∴，∴曲線C的方程為．（2）由曲線T與曲線C相似，且它們的焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線T經(jīng)過點(diǎn)，可設(shè)曲線T的方程為．將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，∴曲線T的方程為．設(shè)．①①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為：，代入得，此時(shí)與曲線T相切，根據(jù)橢圓的對稱性有M為的中點(diǎn)，方程為或，切點(diǎn)為或，即N為的中點(diǎn)，所以是一個(gè)定值；同理可求，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，也是一個(gè)定值．當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為：，代入得，此時(shí)M為的中點(diǎn)；同理可求，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為中點(diǎn)； ②當(dāng)切線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為：，分別代入和，化簡整理得①，②．由題意知，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，此時(shí)，M為的中點(diǎn)．同理可證，N為的中點(diǎn)，綜上，切線的切點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，是一個(gè)定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式.22．在平面直角坐標(biāo)系，直線l過點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）設(shè)直線l的傾斜角為，寫出其參數(shù)方程，并求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為M，求直線l的方程．【答案】（1）參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直角坐標(biāo)方程為；（2）．【分析】（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的定義及已知條件寫出直線l的參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得到曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得到，結(jié)合中點(diǎn)信息可得答案.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），由得，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為．（2）將直線l的參數(shù)方程代入，并整理得．設(shè)點(diǎn)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為，由線段的中點(diǎn)為M得，即，∴直線l的斜率．∴直線l的方程為，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)分別為，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)分類討論求解即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可,【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，解得，結(jié)合得，解集為；當(dāng)時(shí)，解得，結(jié)合得，；當(dāng)時(shí)，解得，結(jié)合得，．∴原不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，可化為，∴或，即存在，使得，或．，因?yàn)?，所以∴，因?yàn)?，所以，所以，∴?shí)數(shù)a的取值范圍為．第 24 頁 共 24
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