20xx屆安徽省蚌埠市下學(xué)期高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:56本頁面
【正文】 聯(lián)立，得，∴，∴，∵直線的斜率，直線的斜率，∴為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過韋達(dá)定理得到，解決“非齊次式韋達(dá)定理” 即形式的問題.21．已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）證明：時(shí)，恒成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由時(shí)，求得，求得的值，即可求得切線方程；（2）求得，令，求得，分和兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，再結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可得，所以，則函數(shù)在處的切線方程為，即切線方程為.（2）由函數(shù)，可得，令，則，①若時(shí)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，②若時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即時(shí)，在恒成立，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，下面證明：，令，可得，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，又由，所以，所以恒成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為()，曲線與有且只有一個公共點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，為曲線上的兩點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直接求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓相切，直接求即可得解；（2）利用極徑的幾何意義，設(shè)，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€與有且只有一個公共點(diǎn)所以圓心到直線的距離.解得，故.（2）設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查了直線和圓的位置關(guān)系以及利用極徑的幾何意義求最值，：（1）掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；（2）理解掌握極徑的幾何意義.23．已知函數(shù)，且的最大值為1，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）直接根據(jù)絕對值三角不等式即可得結(jié)果；（2）由基本不等式易得，由可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)取到等號，∴，∴.（2）證明：由，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.第 21 頁 共 21
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