【正文】 2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．【答案】（1）這個二次函數的表達式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．【解析】分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；（3）根據等腰三角形的定義，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．詳解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數解析式，得，解得，這個二次函數的表達式是y=x24x+3；（2）當x=0時，y=3，即點C（0，3），設BC的表達式為y=kx+b，將點B（3，0）點C（0，3）代入函數解析式，得，解這個方程組，得 直線BC的解析是為y=x+3，過點P作PE∥y軸，交直線BC于點E（t，t+3），PE=t+3（t24t+3）=t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（t2+3t）3=（t）2+，∵＜0，∴當t=時，S△BCP最大=.（3）M（m，m+3），N（m，m24m+3）MN=m23m，BM=|m3|，當MN=BM時，①m23m=（m3），解得m=，②m23m=（m3），解得m=當BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45176。，m24m+3=0，解得m=1或m=3（舍）當BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45176。，（m24m+3）=m+3，解得m=2或m=3（舍），當△BMN是等腰三角形時，m的值為，，1，2．點睛：本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是待定系數法；解（2）的關鍵是利用面積的和差得出二次函數，又利用了二次函數的性質，解（3）的關鍵是利用等腰三角形的定義得出關于m的方程，要分類討論，以防遺漏．14．在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+x+c的圖象經過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數圖象在第一象限內的交點．（1）求二次函數的解析式及點E的坐標．（2）如圖①，若點M是二次函數圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．（3）如圖②，經過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標為（，3）；（3）F坐標為（0，﹣）．【解析】【分析】1）把C與D坐標代入二次函數解析式求出a與c的值，確定出二次函數解析式，與一次函數解析式聯立求出E坐標即可；（2）過M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構造出二次函數求出最大值，并求出此時M坐標即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標，由圓周角定理及相似的性質得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F坐標．【詳解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數解析式得： ，解得： ，即二次函數解析式為y=﹣x2+x+2，聯立一次函數解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，則E（3，1）；（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點H，設M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=23+MH?3=﹣m2+3m+3，當m=﹣=時，S最大=，此時M坐標為（，3）；（3）連接BF，如圖②所示，當﹣x2+x+20=0時，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴ ，即 ，解得：OF=，則F坐標為（0，﹣）．【點睛】此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，二次函數圖象與性質，以及圖形與坐標性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．15．已知拋物線的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．（1）求點A、B、C、D的坐標；（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）取點E（，0）和點F（0，），直線l經過E、F兩點，點G是線段BD的中點．①點G是否在直線l上，請說明理由；②在拋物線上是否存在點M，使點M關于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關于x的一元二次方程求出A、B的坐標，令x=0求出點C的坐標，再根據頂點坐標公式計算即可求出頂點D的坐標．（2）根據點A、C的坐標求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應邊，OA和OC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OP的長，從而得解．（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標，然后根據直線上點的坐標特征驗證即可．②設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據相似三角形對應角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質點D關于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點．再設直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數法求一次函數解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到符合條件的點M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P．設點P的坐標為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對應邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時點P（0，）．②若OA和OC是對應邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時點P（0，）．綜上所述，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）．（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經過點E（，0）和點F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點G的坐標為（，﹣2）．當x=時，∴點G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點M．設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點D關于直線l的對稱點就是點B．∴點M就是直線DE與拋物線的交點．設直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯立，解得，．∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）．