【正文】 與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標(biāo)；（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h(yuǎn)，過O作OM⊥OA，截取OM=h,與y軸交于點(diǎn)N，分別確定出M與N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出Q坐標(biāo)即可．【詳解】（1）把，和點(diǎn)，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當(dāng)在直線上方時(shí)，設(shè)坐標(biāo)為，則有，當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，也滿足；當(dāng)在直線下方時(shí)，同理可得：的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或；（3）在中，，根據(jù)勾股定理得：， ，，邊上的高為，過作，截取，過作，交軸于點(diǎn)，如圖所示：在中，即，過作軸，在中，，即，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)睛】二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．14．已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）取點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．①點(diǎn)G是否在直線l上，請(qǐng)說明理由；②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】解：（1） D（，﹣4）（2） P（0，）或（0，）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長(zhǎng)，再分OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，OA和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，從而得解．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證即可．②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長(zhǎng)，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)．再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M．【詳解】解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．在中，令x=0，則y=．∴C（0，）．∵，∴頂點(diǎn)D（，﹣4）．（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點(diǎn)P．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，①若OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）．②若OA和OC是對(duì)應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即．解得y=，此時(shí)點(diǎn)P（0，）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P（0，）或（0，）．（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∵直線l經(jīng)過點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），∴，解得，∴直線l的解析式為．∵B（，0），D（，﹣4），∴，∴線段BD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣2）．當(dāng)x=時(shí)，∴點(diǎn)G在直線l上．②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，0），∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．∵，∠OEF=∠HDB，∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．∵∠OEF+∠OFE=90176。，∴∠OEF+∠HBD=90176。．∴∠EGB=180176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。﹣90176。=90176。，∴直線l是線段BD的垂直平分線．∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B．∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)．設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，∵D（，﹣4），E（，0），∴，解得．∴直線DE的解析式為．聯(lián)立，解得，．∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，是（，﹣4）或（，）．15．如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）詳見解析（2）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（3）分點(diǎn)P在CD的上面下方和點(diǎn)P在CD的上方兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)：設(shè)P,當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面下方，根據(jù)菱形的性質(zhì)，知點(diǎn)P是AD與拋物線的交點(diǎn)，由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達(dá)式:,二者聯(lián)立可得P1（）；當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面上方，易知點(diǎn)P是∠D的外角平分線與拋物線的交點(diǎn)，此時(shí)，∠D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于－2，可設(shè)其為，將D（10，8）代入可得PD的函數(shù)表達(dá)式:,與拋物線聯(lián)立可得P2（﹣5，38）．【詳解】（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），∴AB=6+4=10，．∴AB=AC．由翻折可得，AB=BD，AC=CD．∴AB=BD=CD=AC．∴四邊形ABCD是菱形．∴CD∥AB．∵C（0，8），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）．（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴對(duì)稱軸為直線．設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得．∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8．∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上，∴n=﹣25+8=﹣2．∴M（5，－2）.又∵拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C和M，∴，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（3）存在．點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（），P2（﹣5，38）