【正文】 合歐式期權(quán)與無紅利分配的 美式看漲期權(quán),不適合美式看跌期權(quán) 與其它美式看漲期權(quán) ⑷利率與股價波動為常數(shù) ⑸期權(quán)有效期內(nèi)無紅利分配 ⑹在很短時間內(nèi),相關(guān)證券變化很小,2. 模型公式:,未考慮期權(quán)提前執(zhí)行問題,即未考慮美式 期權(quán)定價,尤其是美式看跌期權(quán),為歐式看漲期權(quán)價值。 為歐式看跌期權(quán)價值。 為累積正態(tài)分布概率,可查表得到。,為標(biāo)的物市場價格波動幅度。,如何確定?,以前一年價格歷史數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差替代。,具體方法:,先計算兩個連續(xù)交易日之間股價變動 的平均標(biāo)準(zhǔn)差,再計算年度標(biāo)準(zhǔn)差,例:某一看漲期權(quán),股票市場價格為236 元,執(zhí)行價格為235元,有效期為90/365 =0.247年,利率為6%,價格波幅為18%。,查閱正態(tài)分布表,可得:,相關(guān)數(shù)據(jù)代入看漲期權(quán)公式:,若期權(quán)的實際市場價格偏離10.75元,就存在套利機(jī)會,㈥兩項式定價模型,1.該模型假定下一單一時期股價變化 呈概率差二次分布,2.單一時期兩項式模型(二次分布),例:有 a 股當(dāng)前市價20元,一個月后股 價只有兩種可能,漲至22元或跌至18元, 執(zhí)行價格為21元的歐式 看漲期權(quán)價格應(yīng)為多少?,當(dāng)前股價20元,當(dāng)前期權(quán)價?,1個月后股價漲至22元,1個月后對應(yīng)期權(quán)價1元,1個月后股價跌至18元,1個月后對應(yīng)期權(quán)價0元,單一時期期權(quán)價變化, 分別表示股價漲跌變動幅度系數(shù) ( ﹥1 , ﹤1 )。 , 分別表示 股價后一時期上漲\下跌的價格。 , 分別表示期權(quán)后一期對應(yīng)的價值。,為求解期權(quán)當(dāng)前價,設(shè)定一資產(chǎn)組合:,買進(jìn)a股一股與出售a的看漲期權(quán)一份,1個月后股價漲至22元的組合價值:,1個月后股價跌至18元的組合價值:,為使組合成無風(fēng)險投資組合,兩組價值應(yīng)相等:,解出:,即:買進(jìn)1/4a同時出售一份看漲期權(quán)構(gòu)造投資組合將為無風(fēng)險投資組合,不存在套利機(jī)會。,若漲至22元,該組合價值為:,若跌至18元,該組合價值為:,即兩組合價值分別在4.5元時無套利,那么如何確定組合當(dāng)前的價值呢?,由于無風(fēng)險投資組合收益率必須等于無風(fēng)險 利率,假定無風(fēng)險利率為12%,組合現(xiàn)值為:,即:,當(dāng)期權(quán)當(dāng)前價值為0.5445元時無任何套利,期權(quán)價高于0.5445元,可賣出期權(quán)買進(jìn)股票。期權(quán)價低于0.5445元,可買進(jìn)期權(quán)賣出股票市場套利的自行調(diào)節(jié)最終將使期權(quán)價格向其理論價格收斂,期權(quán)單一時期定價模型為:,其中:,為隱含股價向上變動的概率。 為隱含股價向下變動的概率,結(jié)論:,期權(quán)的價格等于以 無風(fēng)險利率折現(xiàn)該 期權(quán)在到期日預(yù)期 值所得的現(xiàn)值,3.兩時期兩項式定價模型,,,,兩時期期權(quán)價變化,為求 ,仍按單一時期法,先計算二時期 和 。,有:,再計算第一時期內(nèi) :,故:,其中:,上式以風(fēng)險中性估價法為基礎(chǔ),式中 , 及 分別是期權(quán)在到期 日價值達(dá)到高\中\(zhòng)低3 種可能結(jié)果的概率。,例:以上例的相關(guān)數(shù)據(jù)為例,由此給出:,進(jìn)一步可算出:,歐式期權(quán)兩時期二項式模型實例,20,0.9487,22,1.7424,18,0,24.2,3.2,19.8,0,16.2,0,,,1個月,1個月,代入兩時期二項式模型,可得:,結(jié)果是:當(dāng)前期權(quán)的價格為0.9487元,4.n 時期二項式定價模型,將期權(quán)至到期日分割成n段,每段長度為,,,,,,n 時期二項式樹狀圖,n個末股價 等于 的一個值,代表在 n個時期內(nèi)股價向上變動的次數(shù).,因每個時期內(nèi)股價變動系數(shù)是 或 ( ﹥1,﹤1),所以有:,而股價達(dá)到 的概率為:,式中: , 是組合系數(shù),代表 到達(dá)終點 有 種不同的路線。,在到期日可能出現(xiàn)的各種股價下,期權(quán)的價值也是已知的,即:,﹥,令 為使期權(quán)在到期日仍處于有利價所需 的股價向上運動的次數(shù)為最小值,則期權(quán)到 期時處于有利價的概率為:,即有:,已知到期日的期權(quán)價值,則第n1時期末的 期權(quán)價值可據(jù)單一時期二項式模型計算出:,重復(fù)上式計算,直到算出起點時期權(quán)的價值。,同樣可將期權(quán)價值寫成是以無風(fēng)險利率折現(xiàn)期權(quán)在到期日價值的期望值所得的現(xiàn)值,即:,將上式代入兩時期兩項定價模型即可得出 n 時期的二項式期權(quán)定價模型:,式中:,5.二項式模型的擴(kuò)展,上述僅涉及歐式看漲期權(quán),實際上也可適用于歐式看跌期權(quán)及美式期權(quán).,⑴歐式看跌期權(quán),只需轉(zhuǎn)換損益計算公式,即將 轉(zhuǎn)為 就可使用該模型,即把 的計算轉(zhuǎn) 為 的計算即可。,⑵美式期權(quán),因看漲期權(quán)提前執(zhí)行并非最佳,故它與 歐式期權(quán)計算一樣。,美式看跌期權(quán)及有股息支付的美式看漲 期權(quán),因提前執(zhí)行更佳,故要另加分析:,對有提前執(zhí)行可能的期權(quán),可從二項式模型終 點(到期日),溯二項式樹形結(jié)構(gòu),對每一段路徑上提前執(zhí)行可能性及對期權(quán)價值的影響進(jìn)行考慮,最終計算出起點時期權(quán)的正確價格。,例:,一歐式看跌期權(quán),執(zhí)行價為34元,1年后到 期,每半年為一段時期,每時期或即:上升 或下跌10%,無風(fēng)險利率為8%.應(yīng)注意看跌 期權(quán)與看漲期權(quán)損益計算相反。,轉(zhuǎn)為,該歐式看跌期權(quán)當(dāng)前價為2.438元,S(30),A,P(2.438),Su(33),B,Pu(1.222),Sd(27),C,Pd(5.667),(36.3),D,Puu(0),Sud(29.7),E,Pud(4.3),Sdd(24.3),F,Pdd(9.7),美式看跌期權(quán):各時點股價及期權(quán)價,假定上述數(shù)據(jù)不變,將其轉(zhuǎn)為美式期權(quán),進(jìn) 一步討論提前執(zhí)行的情形。,先考慮 B 點與 C 點情形:,在 B 點提前執(zhí)行該期權(quán)收益為1元(3433), 而據(jù)模型推出的期權(quán)價為1.222元,顯然,提 前執(zhí)行不利,因為1元﹤1.222元。,在 C 點提前執(zhí)行該期權(quán)收益為7元(3427), 而據(jù)模型推出的期權(quán)價為5.667元,因為7元 ﹥5.667元,因此應(yīng)提前執(zhí)行。,據(jù)此,重新計算A點時(當(dāng)前)的期權(quán)價值。,在 A 點時提前執(zhí)行期權(quán)的收益為3430=4元,顯然4元﹥2.817元,由于 A 點執(zhí)行比 C 點收益更大,因而期權(quán)在 A 時就應(yīng)提前執(zhí)行,期權(quán) 價值為4元.,對于有股息存在的期權(quán),可據(jù)同樣程序 對整個股價及期權(quán)價值的兩項運動過 程加以分析,直至導(dǎo)出起點時的期權(quán)價。,最后要注意的是:,①在實際運用中,一兩時期過于簡單,通常會被分割為幾十個時期, 都假定每個時期長度 相同:,②實際應(yīng)用中, 和 的值是根據(jù)股價波動性(標(biāo)準(zhǔn)差 )來確定的(前面10%波動僅為假設(shè))。,常用的計算方式為:,假定 為一個時期的長度,則設(shè)定 為:,設(shè)定 ,在此基礎(chǔ) 上就可得到關(guān)于二項式樹 形結(jié)構(gòu)的所有參數(shù).,路漫漫其修遠(yuǎn)兮，,吾將內(nèi)外而求索。