【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ 4）球體的表面積和體 積公式： V= ； S= 空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系 公理 1：如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 應(yīng)用： 判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi) 用符號(hào)語(yǔ)言表示公理 1： 公理 2：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) ,那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn) 符號(hào)：平面 α和 β相交，交線(xiàn)是 a，記作 α∩β＝ a。 符號(hào)語(yǔ)言： 公理 2的作用： 11 ① 它是判定兩個(gè)平面相交的方法。 ② 它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。 ③ 它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要 依據(jù)。 公理 3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論：一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線(xiàn)確定一平面；兩平行直線(xiàn)確定一平面。 公理 3及其推論作用： ① 它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ② 它是證明平面重合的依據(jù) 公理 4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行 空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 ① 異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn) ② 異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行，又不相交。 ③ 異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn) ④ 異面直線(xiàn)所成角：作平行，令兩線(xiàn)相 交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是（ 0176。， 90176。]，若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。 求異面直線(xiàn)所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角 （ 7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （ 8）空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 直線(xiàn)在平面內(nèi) ——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)． 三種位置關(guān)系的符號(hào)表 示： aα a∩α＝ A a‖α （ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行 ——沒(méi)有公共點(diǎn)； α‖β 相交 ——有一條公共直線(xiàn)。 α∩β＝ b 空間中的平行問(wèn)題 （ 1）直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì) 線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行 ,則該直線(xiàn)與此平面平行。 線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行 12 線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交， 那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行 （ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理 （ 1）如果一個(gè)平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （線(xiàn)面平行 → 面面平行）， （ 2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線(xiàn)線(xiàn)平行 → 面面平行）， （ 3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行， 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 （ 1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。（面面平行 → 線(xiàn)面平行） （ 2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（面面平行 → 線(xiàn)線(xiàn)平行） 空間中的垂直問(wèn)題 （ 1）線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義 ① 兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面 直線(xiàn)所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。 ② 線(xiàn)面垂直：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。 ③ 平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。 （ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ① 線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。 ② 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定 理 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。 空間角問(wèn)題 13 （ 1）直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角 ① 兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為。 ② 兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線(xiàn)所成的角。 ③ 兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別作與兩條異面直線(xiàn) a， b 平行的直線(xiàn)，形成兩條相交直線(xiàn)，這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角。 （ 2）直線(xiàn)和平面所成的角 ① 平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為。 ② 平面的垂線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為。 ③ 平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角。 求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角： “一作，二證，三計(jì)算 ”。 在 “作角 ”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)， 在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（ 1）斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)；（ 2）過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。 （ 3）二面角和二面角的平面角 ① 二面 角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 ② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。 ③ 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④ 求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角 垂面法：已知二面 角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角 高中數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn) 第一章 算法初步 算法的概念 算法概念： 在數(shù)學(xué)上， 現(xiàn)代意義上的 “算法 ” 通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題是程序或步驟， 這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成 . 2. 算法的特點(diǎn) : (1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限 14 的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的 . (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng) 是模棱兩可 . (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè) 確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步 都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題 . (4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法 . (5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng) 過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決 . 程序框圖 程序框圖基本概念： （一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及 文字說(shuō)明來(lái) 準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。 一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文 字說(shuō)明。 （二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用 程序框 名稱(chēng) 起止框 不可少的。 表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息， 可用在算 輸入、輸出框 法中任何需要輸入、輸出的位置。 賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、 處理框 公式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處 理框內(nèi)。 判斷某一條件是否成立， 成立時(shí)在出口處標(biāo) 判斷框 明 “是 ”或 “Y” ；不成立時(shí)標(biāo)明 “否 ”或 “N” 。 學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候 ， 要掌握各個(gè)圖形的形狀、 作用及使用規(guī)則， 畫(huà)程序框圖的規(guī)則如下： 使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。 框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。 除判斷框外， 大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。 判斷框分兩大類(lèi)，一類(lèi)判斷框 “是 ”與 “否 ”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果； 另一類(lèi)是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。 、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （三） 順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句 與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下 的順序進(jìn)行的， 它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的， 它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一 種基本算法結(jié)構(gòu)。 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線(xiàn)將程序框自上而 下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中， A 框和 B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完 A 框指定的操作后，才能接著執(zhí) 行 B 框所指定的操作。 條件結(jié)構(gòu)： 、條件結(jié)構(gòu)： 功能 表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束， 是任何流程圖 A B 條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷 根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。 條件 P 是否成立而選擇執(zhí)行 A 框或 B 框。無(wú)論 P 條件是否成立，只能執(zhí)行 A 框或 B 框之一， 不可能同時(shí)執(zhí)行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、 B 框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷 框。 循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理 、循環(huán)結(jié)構(gòu)： 步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含 條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱(chēng)重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類(lèi)： （ 1） 、一類(lèi)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P 成立時(shí)，執(zhí)行 A 框， A 框執(zhí)行完畢后，再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A 框，如此反復(fù)執(zhí) 行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行 A 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （ 2） 、另一類(lèi)是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條 件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止， 此時(shí)不再執(zhí)行 A 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。 A P 不成立 p P 成立 成立 A 不成立 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 注意： 注意： 1 循環(huán)結(jié) 構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此，循環(huán)結(jié) 構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許 “死循環(huán) ” 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變 。 2 量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步 ．．．．．． 執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。 輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句 輸入、 輸入語(yǔ)句 、 （ 1）輸入語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 INPUT“提示 15 內(nèi)容 ” ；變量 INPUT “提示內(nèi)容 ” ，變量 （ 2）輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能； “提示內(nèi)容 ”提 示用戶(hù)輸入什么樣的 （ 3） 信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量； （ 4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體 的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式； （ 5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào) “； ”隔開(kāi)，若輸入 多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào) “， ”隔開(kāi)。 輸出語(yǔ)句 、 （ 1）輸出語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 PRINT“提示內(nèi)容 ” ；表達(dá)式 Disp “提示內(nèi)容 ” ，變量 （ 2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能； “提示內(nèi)容 ”提示用戶(hù)輸入什么樣的 （ 3） 信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)； （ 4）輸出 語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及 字符。 賦值語(yǔ)句 、 （ 1）賦值語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 變量＝表達(dá)式 表達(dá)式 → 變量 （ 2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量； （ 3）賦值語(yǔ)句中的 “＝ ”稱(chēng)作賦值 號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá) 式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量； （ 4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表 達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式； （ 5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。 注意： 注意： ① 賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如： 2=X 是錯(cuò)誤的。 ② 賦值號(hào)左 右不能對(duì)換。如 “A=B” “B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。 ③ 不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù) 式的演算。 （如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等） ④賦值號(hào) “=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。 1． 2． 2 條件語(yǔ)句 ． ． 條件語(yǔ)句的一般格式有兩種： 、 （ 1） IF—THEN—ELSE 語(yǔ)句； （ 2） IF—THEN 語(yǔ)句。 IF 、 —THEN—ELSE 語(yǔ)句 — IF—THEN—ELSE 語(yǔ)句的一般格式為圖 1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖 2。 IF 條件 語(yǔ)句 1 ELSE 語(yǔ)句 2 END IF THEN 滿(mǎn)足條件？ 是 語(yǔ)句 1 否 語(yǔ)句 2 圖 1 圖 2 分析：