【文章內(nèi)容簡介】 （ 4）球體的表面積和體 積公式： V= ； S= 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 公理 1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。 應(yīng)用： 判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理 1： 公理 2：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn) ,那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 符號：平面 α和 β相交，交線是 a，記作 α∩β＝ a。 符號語言： 公理 2的作用： 11 ① 它是判定兩個平面相交的方法。 ② 它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。 ③ 它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個點(diǎn)共線的重要 依據(jù)。 公理 3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。 推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理 3及其推論作用： ① 它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ② 它是證明平面重合的依據(jù) 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 空間直線與直線之間的位置關(guān)系 ① 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 ② 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 ③ 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角：作平行，令兩線相 交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（ 0176。， 90176。]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 求異面直線所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角 （ 7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （ 8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) ——有無數(shù)個公共點(diǎn)． 三種位置關(guān)系的符號表 示： aα a∩α＝ A a‖α （ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行 ——沒有公共點(diǎn)； α‖β 相交 ——有一條公共直線。 α∩β＝ b 空間中的平行問題 （ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行 ,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行 12 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行 （ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個平面平行的判定定理 （ 1）如果一個平面 內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （線面平行 → 面面平行）， （ 2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。 （線線平行 → 面面平行）， （ 3）垂直于同一條直線的兩個平面平行， 兩個平面平行的性質(zhì)定理 （ 1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行 → 線面平行） （ 2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行 → 線線平行） 空間中的垂直問題 （ 1）線線、面面、線面垂直的定義 ① 兩條異面直線的垂直：如果兩條異面 直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 ② 線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。 ③ 平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。 （ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ① 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 ② 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定 理 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。 空間角問題 13 （ 1）直線與直線所成的角 ① 兩平行直線所成的角：規(guī)定為。 ② 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 ③ 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn) O，分別作與兩條異面直線 a， b 平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （ 2）直線和平面所成的角 ① 平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。 ② 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。 ③ 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角： “一作，二證，三計算 ”。 在 “作角 ”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（ 1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（ 2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （ 3）二面角和二面角的平面角 ① 二面 角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 ② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 ③ 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④ 求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個點(diǎn)分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面 角內(nèi)一點(diǎn)到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角 高中數(shù)學(xué)必修三知識點(diǎn) 第一章 算法初步 算法的概念 算法概念： 在數(shù)學(xué)上， 現(xiàn)代意義上的 “算法 ” 通常是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟， 這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成 . 2. 算法的特點(diǎn) : (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限 14 的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 . (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng) 是模棱兩可 . (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個 確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步 都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題 . (4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法 . (5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng) 過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決 . 程序框圖 程序框圖基本概念： （一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及 文字說明來 準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。 一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文 字說明。 （二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用 程序框 名稱 起止框 不可少的。 表示一個算法輸入和輸出的信息， 可用在算 輸入、輸出框 法中任何需要輸入、輸出的位置。 賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、 處理框 公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處 理框內(nèi)。 判斷某一條件是否成立， 成立時在出口處標(biāo) 判斷框 明 “是 ”或 “Y” ；不成立時標(biāo)明 “否 ”或 “N” 。 學(xué)習(xí)這部分知識的時候 ， 要掌握各個圖形的形狀、 作用及使用規(guī)則， 畫程序框圖的規(guī)則如下： 使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。 框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。 除判斷框外， 大多數(shù)流程圖符號只有一個進(jìn)入點(diǎn)和一個退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個退出點(diǎn)的唯一符號。 判斷框分兩大類，一類判斷框 “是 ”與 “否 ”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果； 另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。 、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （三） 順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句 與語句之間，框與框之間是按從上到下 的順序進(jìn)行的， 它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的， 它是任何一個算法都離不開的一 種基本算法結(jié)構(gòu)。 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而 下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中， A 框和 B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完 A 框指定的操作后，才能接著執(zhí) 行 B 框所指定的操作。 條件結(jié)構(gòu)： 、條件結(jié)構(gòu)： 功能 表示一個算法的起始和結(jié)束， 是任何流程圖 A B 條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷 根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。 條件 P 是否成立而選擇執(zhí)行 A 框或 B 框。無論 P 條件是否成立，只能執(zhí)行 A 框或 B 框之一， 不可能同時執(zhí)行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、 B 框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷 框。 循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理 、循環(huán)結(jié)構(gòu)： 步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含 條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類： （ 1） 、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P 成立時，執(zhí)行 A 框， A 框執(zhí)行完畢后，再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A 框，如此反復(fù)執(zhí) 行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時不再執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （ 2） 、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條 件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止， 此時不再執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。 A P 不成立 p P 成立 成立 A 不成立 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 注意： 注意： 1 循環(huán)結(jié) 構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié) 構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許 “死循環(huán) ” 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變 。 2 量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步 ．．．．．． 執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。 輸入、輸出語句和賦值語句 輸入、 輸入語句 、 （ 1）輸入語句的一般格式 圖形計算器 格式 INPUT“提示 15 內(nèi)容 ” ；變量 INPUT “提示內(nèi)容 ” ，變量 （ 2）輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能； “提示內(nèi)容 ”提 示用戶輸入什么樣的 （ 3） 信息，變量是指程序在運(yùn)行時其值是可以變化的量； （ 4）輸入語句要求輸入的值只能是具體 的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式； （ 5）提示內(nèi)容與變量之間用分號 “； ”隔開，若輸入 多個變量，變量與變量之間用逗號 “， ”隔開。 輸出語句 、 （ 1）輸出語句的一般格式 圖形計算器 格式 PRINT“提示內(nèi)容 ” ；表達(dá)式 Disp “提示內(nèi)容 ” ，變量 （ 2）輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能； “提示內(nèi)容 ”提示用戶輸入什么樣的 （ 3） 信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)； （ 4）輸出 語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及 字符。 賦值語句 、 （ 1）賦值語句的一般格式 圖形計算器 格式 變量＝表達(dá)式 表達(dá)式 → 變量 （ 2）賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量； （ 3）賦值語句中的 “＝ ”稱作賦值 號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá) 式的值賦給賦值號左邊的變量； （ 4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表 達(dá)式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式； （ 5）對于一個變量可以多次賦值。 注意： 注意： ① 賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如： 2=X 是錯誤的。 ② 賦值號左 右不能對換。如 “A=B” “B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。 ③ 不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù) 式的演算。 （如化簡、因式分解、解方程等） ④賦值號 “=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。 1． 2． 2 條件語句 ． ． 條件語句的一般格式有兩種： 、 （ 1） IF—THEN—ELSE 語句； （ 2） IF—THEN 語句。 IF 、 —THEN—ELSE 語句 — IF—THEN—ELSE 語句的一般格式為圖 1，對應(yīng)的程序框圖為圖 2。 IF 條件 語句 1 ELSE 語句 2 END IF THEN 滿足條件？ 是 語句 1 否 語句 2 圖 1 圖 2 分析：