正弦定理的三種證明(編輯修改稿)
2024-11-15 05:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0176。，208。BCD=135176。.：引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵208。BCD=135176。，208。BDC=30176。，∴需要求BD，而BD需在△A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理例2圖 求BC。3．要重視實際應(yīng)用《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。因此建議在教學中，設(shè)計一些實際應(yīng)用問題，為學生體驗數(shù)學在解決問題中的作用，感受數(shù)學與日常生活及與其他學科的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設(shè)計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。參考案例：解三角形在實際中的應(yīng)用參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45o，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75o的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與乙船相遇？教學建議：引導學生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建DACB，容易計算出AB=20海里,BC=20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。答: 甲船沿北偏東75o的方向，．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB=BC=60m，在A，B，C三點ooo例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，60，若測量 E，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學建議：引導學生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學模型。在例2圖 DACE中和DBCE中應(yīng)用余弦定理，: ．要重視研究性學習解三角形的內(nèi)容有較強的應(yīng)用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內(nèi)容的設(shè)計上探索開放，在教學形式上靈活多樣?？稍O(shè)計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習課外研究題：將一塊圓心角為120o，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．教學建議：這是一個研究性學習內(nèi)容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結(jié)果，老師可適當進行點評。參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．NBBPO圖（2）QMO圖（1）按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)208。MOA=q，則：時，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208。MOQ=a，在DMOQ中，208。OQM=90o+30o=120o，由正弦定理，得：sin120o又QMN=2OMsin(60oa)=40sin(60oa)，MQ=20sina=3sina． 3MP=20sinq,OP=20cosq，從而S=400sinqcosq=200sin2q．即當q=p∴S=MQMN=sinasin(60oa)=cos(2a60o)cos60o． 33[]∴當a=30o時，Smax=由于400． 3400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾?，在學校開設(shè)的研究性學習課上進行交流，評價。參考文獻：①全日制普通高中級學《數(shù)學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。②《普通高中數(shù)學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。第三篇：原創(chuàng)正弦定理證明1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC2．斜三角形中證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA兩邊同除以abc即得：證明二：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa==CD=2R sinAsinD
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