正弦定理的三種證明-資料下載頁(yè)
2024-11-15 05:13本頁(yè)面
【正文】 BC中，已知，求c。第五篇：正弦定理證明正弦定理證明：△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)HCH=asinBCH=bsinA∴asinB=bsinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC：如圖，任意三角形ABC,⊙,所以∠DAB=90度因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠a/SinA=BC/SinD=BD=2R類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。：平面幾何證法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^22ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^22ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^22ac*cosBcosB=(c^2+a^2b^2)/2ac3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b則c^2=a^2+b^22ab*cosCa^2=b^2+c^22bc*cosAb^2=a^2+c^22ac*cosB下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類(lèi)推。過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2(CD)^2所以c^2=(AD)^2(CD)^2+b^2=(aCD)^2(CD)^2+b^2=a^22a*CD+(CD)^2(CD)^2+b^2=a^2+b^22a*CD因?yàn)閏osC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^22ab*cosC題目中^2表示平方。2談?wù)?、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)==。(2)(余弦定理)c2=a2+b22abcosC,b2=a2+c22accosB,a2=b2+、正弦定理的證明證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。所以S△ABC=a?b?csin∠BCA=b?c?sin∠CAB=c?a?sin∠：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90176。，∠ABC=∠ADC。證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j??AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90176?！螩)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90176。∠A)=c?、余弦定理的證明法一：在△ABC中，已知，求c。過(guò)A作，在Rt中，法二：，即：法三：先證明如下等式：⑴證明：故⑴式成立，再由正弦定理變形，得結(jié)合⑴、有.三、正余弦定理的統(tǒng)一證明法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π∠B，∴C′(acos(πB),asin(πB))=C′(acosB,asinB).根據(jù)向量的運(yùn)算：=(acosB,asinB)，==(bcosAc,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(bcosAc)2+(bsinA)2=b2+c22bccosA，又||=a,∴a2=b2+：c2=a2+b22abcosC。b2=a2+：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即將(1)式改寫(xiě)為化簡(jiǎn)得b2a2c2==a2+c22accosB.(4)
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