【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =pt, 則 242。02f(sinx)dx=242。p2pp0f[sin(pt)]dt2p=242。2f[sin(pt)]dt=242。2f(cosx)dx.002(2)令x=pt, 則p0242。0xf(sinx)dx=242。p(pt)f[sin(pt)]dtpppt)]dt=242。0(pt)f(sint)dt=242。0(pt)f[sin（=p242。0f(sint)dt242。0tf(sint)dt天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 pp高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分=p242。0f(sinx)dx242。0xf(sinx)dx,所以pp242。0xf(sinx)dx=2242。0p ppf(sinx)dx.x2236。4239。xe x179。0例7 設(shè)函數(shù)f(x)=237。1, 計(jì)算242。1f(x2)dx. 1x0239。238。1+cosx解 設(shè)x2=t, 則242。14f(x2)dx=242。1f(t)dt=242。1201dt+2tet2dt242。01+cost220=[tant]1[1et]0=tan11e4+1.22222提示: 設(shè)x2=t, 則dx=dt。 當(dāng)x=1時(shí)t=1, 當(dāng)x=4時(shí)t=2.二、分部積分法設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a, b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u162。(x)、v162。(x), 由(uv)162。=u162。v +u v162。得u v162。=u vu162。v , 式兩端在區(qū)間[a, b]上積分得ba242。au162。vdx, 或242。audv=[uv]a242。avdu. 242。auv162。dx=[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式.分部積分過(guò)程:ba242。avdu=[uv]a242。au162。vdx= .242。auv162。dx=242。audv=[uv]bbbbb 例1 計(jì)算242。 解 12arcsinxdx. 0242。12arcsinxdx0112=[xarcsinx]0242。12xdarcsinx0=1p242。02xdx261x21p =+242。021221d(1x2)1x21p22=p+31.=+[1x]012122 例2 計(jì)算242。0exdx.解 令x=t, 則1242。0e1xdx=2242。0ettdt天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分=2242。0tdet=2[tet] 0 2242。0etdt=2e2[et] 0 =2.例3 設(shè)In=242。02sinnxdx, 證明(1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), In=n1n331p。nn2422(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí), In=n1n342.nn253證明 In=242。2sinnxdx01111pp=242。02sinn1xdcosxn1 p2x] 0p=[cosxsinp+242。02cosxdsinn1xpp=(n1)242。02cos2xsinn2xdx=(n1)242。02(sinn2xsinnx)dx=(n1)242。02sinn2xdx(n1)242。02sinnxdx=(n1)I n 2(n1)I n ,由此得In=n1In2.nI2m=2m12m32m531I0,2m2m22m442I2m+1=2m2m22m442I1,2m+12m12m353而I0=242。02dx=p, I1=242。02sinxdx=1,2因此I2m=2m12m32m531p,2m2m22m4422I2m+1=2m2m22m442. 2m+12m12m353 例3 設(shè)In=242。02sinnxdx(n為正整數(shù)), 證明天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ppppp高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分I2m=2m12m32m531p, 2m2m22m442 I2m+1=2m2m22m442. 2m+12m12m353 證明 In=242。02sinnxdx=242。02sinn1xdcosx=[cosxsinpn1 p2x] 0pp+(n1)242。02cos2xsinn2xdxp=(n1)242。02(sinn2xsinnx)dx=(n1)242。02sinn2xdx(n1)242。02sinnxdx=(n1)I n 2(n1)I n ,由此得 In=n1In2. nI2m=2m12m32m531I0, 2m2m22m442I2m+1=2m2m22m442I1. 2m+12m12m353特別地 I0=242。2dx=p02ppp, I1=242。02sinxdx=1. p因此I2m=2m12m32m531p, 2m2m22m4422I2m+1=2m2m22m442. 2m+12m12m353天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分167。5. 4 反常積分一、無(wú)窮限的反常積分定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, +165。)上連續(xù), 取ba . 如果極限b174。+165。lim242。af(x)dx+165。b存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a, +165。)上的反常積分, 記作242。af(x)dx, 即242。a這時(shí)也稱反常積分242。af(x)dx收斂. +165。+165。f(x)dx=lim242。af(x)dx.b174。+165。b如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a, +165。)上的反常積分242。af(x)dx就沒(méi)有意義, 此時(shí)稱反常積分242。af(x)dx發(fā)散.類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。, b ]上連續(xù), 如果極限a174。165。+165。+165。lim242。af(x)dx(abb存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(165。, b ]上的反常積分, 記作242。165。f(x)dx, 即天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分242。165。f(x)dx=alim242。f(x)dx.174。165。a這時(shí)也稱反常積分242。165。f(x)dx收斂. 如果上述極限不存在, 則稱反常積分242。165。f(x)dx發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。, +165。)上連續(xù), 如果反常積分 bbbb242。165。f(x)dx和242。0f(x)dx都收斂, 則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(165。, +165。)上的反常積分, 記作0+165。242。165。f(x)dx, 即242。165。f(x)dx=242。165。f(x)dx+242。00a174。165。+165。+165。0+165。f(x)dxb=lim242。af(x)dx+lim242。0f(x)dx.b174。+165。這時(shí)也稱反常積分242。165。f(x)dx收斂.如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散, 則稱反常積分242。165。f(x)dx發(fā)散.定義1162。連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, +165。)上的反常積分定義為+165。+165。242。a+165。f(x)dx=lim242。af(x)dx.b174。+165。b在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂。 否則稱此反常積分發(fā)散.類似地, 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。, b]上和在區(qū)間(165。, +165。)上的反常積分定義為242。165。f(x)dx=lim242。af(x)dx.a174。165。bb242。165。f(x)dx=lim242。af(x)dx+lim242。0f(x)dx.a174。165。b174。+165。+165。0b反常積分的計(jì)算: 如果F(x)是f(x)的原函數(shù), 則242。a+165。f(x)dx=lim242。af(x)dx=lim[F(x)]bab174。+165。b174。+165。b=limF(b)F(a)=limF(x)F(a).b174。+165。x174。+165?？刹捎萌缦潞?jiǎn)記形式:類似地 242。a+165。165。f(x)dx=[F(x)]+a=limF(x)F(a).x174。+165。165。=F(b)limF(x),242。165。f(x)dx=[F(x)]bx174。165。b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分165。165。=limF(x)limF(x).242。165。f(x)dx=[F(x)]+x174。+165。x174。165。+165。+165。 例1 計(jì)算反常積分242。165。12dx.1+x解 165。165。242。165。1+1x2dx=[arctanx]++165。=limarctanxlimarctanxx174。+165。x174。165。= p( p)=p. 例2 計(jì)算反常積分242。0teptdt(p是常數(shù), 且p0).解 +165。242。0+165。+165。+165。teptdt=[242。teptdt]0=[1242。tdept]0p+165。=[1tept+1242。eptdt]0pp+165。=[1tept12ept]0pp=lim[1tept12ept]+12=12.t174。+165。pppp提示: limtept=limtpt=lim1pt=0.t174。+165。t174。+165。et174。+165。pe 例3 討論反常積分242。a 解 當(dāng)p=1時(shí),當(dāng)p當(dāng)p1時(shí), +165。1dx(a0)的斂散性.xp242。a+165。1dx=+165。1dx=[lnx] +165。=+165。.a242。axxp242。a+165。1dx=[1x1p] +165。=+165。.a1pxp242。a+165。1dx=[1x1p] +165。=a1p.a1pp1xp1p 因此, 當(dāng)p1時(shí), 此反常積分收斂, 其值為a。 當(dāng)p163。1時(shí), 此反常積分發(fā)散.p1二、無(wú)界函數(shù)的反常積分定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b]上連續(xù), 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界. 取e0, 如果極限t174。alimf(x)dx +242。tbb存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a, b]上的反常積分, 仍然記作242。af(x)dx, 即天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分242。af(x)dx=tlim242。174。at+bbf(x)dx.這時(shí)也稱反常積分242。af(x)dx收斂.如果上述極限不存在, 就稱反常積分242。af(x)dx發(fā)散.類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界. 取e0, 如果極限t174。bbblimf(x)dx 242。abt存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a, b)上的反常積分, 仍然記作242。af(x)dx, 即f(x)dx.242。af(x)dx=lim242。at174。bbt這時(shí)也稱反常積分242。af(x)dx收斂. 如果上述極限不存在, 就稱反常積分242。af(x)dx發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上除點(diǎn)c(a都收斂, 則定義cb242。af(x)dx=242。af(x)dx+242。cf(x)dx.否則, 就稱反常積分242。af(x)dx發(fā)散.瑕點(diǎn): 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界, 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn), 也稱為無(wú)界定義2162。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b]上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b]上的反常積分定義為 bbcb242。af(x)dx=tlim242。174。at+bbf(x)dx.在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂。 否則稱此反常積分發(fā)散.類似地,函數(shù)f(x)在[a, b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為f(x)dx.242。af(x)dx=lim242。at174。bbt函數(shù)f(x)在[a, c)200。(c, b](c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為242。af(x)dx=tlim242。174。cabtf(x)dx+limf(x)dx.+242。tt174。cb反常積分的計(jì)算:如果F(x)為f(x)的原函數(shù), 則有天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分242。af(x)dx=tlim242。174。at+bbf(x)dx=lim[F(x)]bt+t174。a=F(b)limF(t)=F(b)limF(x). ++t174。ax174。a可采用如下簡(jiǎn)記形式:a=F(b)limF(x).242。af(x)dx=[F(x)]bx174。a+b類似地, 有a=limF(x)F(a),242。af(x)dx=[F(x)]bx174。bb當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí),242。af(x)dx=[F(x)]bF(x)。a=F(b)lim+x174。ab當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí),242。af(x)dx=[F(x)]bF(x)F(a).a=limx174。bb當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí),F(x)F(a)]+[F(b)limF(x)].242。af(x)dx=242。af(x)dx+242。cf(x)dx=[xlim174。cx174。c+bcb 例4 計(jì)算反常積分242。 解 因?yàn)閘imx174。aa01dx.2ax21=+165。, 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn).a2x 242。0a1a=limarcsinx0=p. dx=[arcsinx] 0a2x174。aaa2x21例5 討論反常積分242。112dx的收斂性.x解 函數(shù)12在區(qū)間[1, 1]上除x=0外連續(xù), 且lim12=165。.x174。0xx0 0 由于242。112dx=[1]=lim(1)1=+165。,1xxx174。0x01即反常積分242。112dx發(fā)散, 所以反常積分242。112dx發(fā)散.xx例6 討論反常積分242。a解 當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q1時(shí), bbbdx的斂散性.(xa)qdx=bdx=[ln(xa)] b=+165。.a242。a(xa)q242。axadx=[1(xa)1q] b=+165。.a242。a(xa)q1q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分當(dāng)q1時(shí), dx=[1(xa)1q] b=1(ba)1q.a242。a(x1qa)q1qb 因此, 當(dāng)q1q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室第三篇：高等數(shù)學(xué)教案12165。=s