【文章內(nèi)容簡介】 2．正方形如圖所示 . 拋物線 22 xya ? （ 10 ??a ）將 正方形分成左右兩部 分，分別記為 1S 與 2S .將 1S 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體積 1V ， 將 2S 繞 x 軸旋 轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體積 2V .（ 1）問當 a 為何值時， 21 VVV ?? 取得最小值； （ 2）求出 V 的最小值 . 3．求微分分方程 xeyyy 396 ?????? 的通解 . 五、（每題 6分，共 2題，共 12 分） 1．證明：當 0?x 時， )1ln(22 xxx ??? . 2．（ 1）敘述“羅爾定理”的條件與結(jié)論；（ 2）設(shè)非負函數(shù) ]1 ,0[)( Cxf ? ，試證 ) 1 ,0(??? ，使在 ] ,0[ ? 上以 )(?f為高的矩形面積等于在 ]1 , [? 上以 )(xfy? 為曲邊的曲邊梯形面積 . 10級 B 上期末 一、選擇題 (每題 3分 ,共 5題 ) 設(shè) 0)0( ?f ， )0(f? 存在，則 xxfx )2(lim0?等于（ ）。 y x o 1 1 ) 1 ,1 ( a 1S 2S （ A） )0(2f? ； （ B） 2)0(f? ； （ C） )0(2f ； （ D） 2)0(f 。 函數(shù) 3136)( xxxxf ??? ?在 1?x 處有（ ）。 （ A）極小值； （ B）極大值； （ C）拐點 ))1(,1( f ； （ D）既無極值也無拐點。 下列四項中正確的是（ ）。 （ A） ? ? Cxfdxxf ???? )()( ；（ B） ? ??? Cxfdxxf )()( ；（ C） ? ??? )()( Cxfdxxf ；（ D） ? ??? Cxfdxtf )()( 。 下列廣義積分收斂的是（ ） （ A） ? ??1 21 dxx ； （ B） ? ?? ?1 21 dxx ； （ C） ? ?? ?1 1dxx； （ D） ? ?? ?1 23 dxx 。 由方程 xy eexy ??? 1 所確定的隱函數(shù) )(xfy? 的導函數(shù) ?? )0(f （ ）。 （ A） 2 2ln1? ； （ B） 2 2ln1? ； （ C） 2 12ln ? ； （ D） 22ln 。 二、填空題 (每題 3分 ,共 5題 ) 曲線??? ? ?? ty tx sincos1 在點 )1,1(A 處的切線方程的斜率為 。 函數(shù) xxxxf 1232)( 23 ??? 在 ]2,0[ 上的最小值為 。 ???10 21arc tan dxx xdxd 。 ????? dxxxx11 22 )4( 。 微分方程 044 ?????? yyy 的通解為 。 三 、計算題 (每題 6分 ,共 5題 )4002 )1(limxdtex tx? ???。 已知 2ln ( 1 ) a r c siny x x x? ? ? ?，求 y? 。 ?? dxx 32 )1( 1 。 ? ?40 sectan? dxxxx 。 求微分方程 12 ???? xyyx 滿足 3)1( ?y 的特解。 四、應(yīng)用題 (每題 10分 ,共 3題 )求由曲 線 542 ??? xxy 及曲線 542 ??? xxy 在點 )1,2(?A 和點 )5,4(?B處的法線所圍成的介于 42 ??x 的平面圖形面積。 建造容積為一定的開口圓柱形容器，若底面積每平方米的造價是側(cè)面每平方米造價的兩倍，問底半徑與高成怎樣的比例，才能使該容器造價最低？ 求曲線 ],2[sin ???? xxy 和它在 2??x 處的切線以及直線 ??x 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 五、證明題 (每題 5 分 ,共二題 )已知二階線性非齊次微分方程 )()()( xfyxqyxpy ?????? 有解 xy?*1 ，2*2 xxy ?? ， 3*3 xxy ?? ，證明： 3221 xCxCxy ??? 是該方程的通解。 已知 1)( ?? xf ， ]1,0[?x ，并且 021 ???????f，證明： 41)(10 ?? dxxf 。 11 級 B 上期末 一、選擇題：（每小題 3 分） 設(shè) 32 )2()1()( ??? xxxxf ，則 )0(f? 等于 )( 。 A 、 6? B 、 6 C、 8 D、 8? 曲線 )1ln( 2 ?? xy 在區(qū)間 )1,( ??? 內(nèi) （ ） A、上升且向上凸； B、上升且向下凸； C、下降且向上凸； D、下降且向下凸 ?????? )(lim 2 xxxx )(。 A 、 0 B 、 21 C、 ? D、不存在 下列廣義積分收斂的是 )( 。 A 、 ???1 2xdx B 、 ???1 xdx C、 ???1 xdx D、 ? ??1 dxx 平面 32 ??? zyx 與直線???????????3221tztytx 的夾角是)( 。 A 、 6? B 、 4? C、 3? D、 2? 二、填空題：（每小題 3 分） ???? ax axax a rc ta na rc ta nlim )(。 設(shè) xxexf ??)( ，則 ?)0()2022(f )( 。 ??? ba dxx xdxd 21arc tan )(。 ????2 252 )c oss in(?? dxxxx )( 。 曲線??? ? ??05 22x yz 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)面方程是 )( 。 三、計算題：（每小題 7 分） 計算極限 32020coslimxdtttxx????????。 求 1493 23 ???? xxxy 的單調(diào)區(qū)間及極值點。 計算不定積分 ? ? dxxx )23sin( 。 計算定積分 ??121 21 xx dx。 設(shè)????????? 1)1(110)(2 xxxxf ，求 ? ?30 )1( dxxxf 。 四、應(yīng)用題 ：（每小題 8 分） 求平面 132 ??? zyx 被三個坐標面截得的三角形面積。 在橢圓 1432222 ?? yx 的內(nèi)截矩形中，求面積最大且邊平行坐標軸的矩形。 求由 xy ln? 、 1??y 和 ex? 所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積。 五、證明題：（第一題 6 分、第二題 5 分） 證明方程 12 ?xxe 有且僅有一個小于 1的正根。 設(shè) )(xf 在 ]1,1[? 上非負連續(xù)，且 0)(101 ??? dxxfx，證明： ???? ? 101101 2 )()( dxxfdxxfx。 07 級 B 下期中 一、填空題 （每小題 4分，共 20 分） 1． 直線 L：??? ?? ??? 252 1zy zyx 的方向向量為 . 2．將曲線?????? ?? 0 122x zy繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面方程為 . 3．冪級數(shù) ?????1 )3()1( nnnnx 的收斂域為 . 4．????????????0 , 0 0 ,),(2222223yxyxyx yxyxf ，則 ?)0,0(xf . 5． 若 yxeu 2?? ，則 ?)1,1(du . 二、單項選擇題 （ 分分 1644 ?? ） 1． na 與 nb 符合什么條件，可由 ???1n na發(fā)散，推出 ???1n nb也發(fā)散（ ） （ A） na ? nb ； （ B） na ? nb ； （ C） na ? nb ； （ D） na ? nb . 2．若 yeyxf x sin),( 2? ，則)0,0(5149100yx f???等于 （ ） （ A） 492? ； （ B） 492 ； （ C） 0； （ D） 1002 . 3．已知冪級數(shù) ??? ?0 )2( nnn xa 在 0?x 處收斂，在 4??x 處發(fā)散，則 冪級數(shù) ??? ?0 )3( nnn xa 的收斂域為 （ ） （ A） ]5,1[ ； （ B） ]5,1( ； （ C） )2,2[? ； （ D） ]2,2(? . 4．（本題強化班不做，其他班做 .） 設(shè)??????????????xxxxxf2 ,520 , )( ，展開成正弦級數(shù) ???1 sinn n nxb，其中? ?? ?? 0 ) ,2 ,1( s i n)(2 ?nnx dxxfb n ，其和函數(shù)為 )(xS ，則 )25( ??S 等于 （ ） （ A） 25 ； （ B） 25 ? ； （ C） 0； （ D） 1. 4? ．（本題強化班做，其他班不做 .）已知 42),( yxeyxf ?? ，則（ ） （ A） )0,0(),0,0( yx ff 都不存在 ； （ B） )0,0(xf 不存在， )0,0(yf 存在 ； （ C） )0,0(),0,0( yx ff 都存在 ； （ D） )0,0(xf 存在， )0,0(yf 不存在 . 三、 (每題 8分，共 24分 )1．求與兩直線 1 12 21 1 ????? zyx 及???????????tztyx211 都平行，且過原點的平面方程 . 2．過點 )1,2,1(A 作平面 72 ??? zyx 的垂線，并求垂足 B 的坐標 . 3． 討論 二元函數(shù)???????????0 , 0 0 ,),(222222yxyxyx xyyxf ，在點 )0 ,0( 處 的連續(xù)性、可偏導性、可微性 . 四、 (每題 8 分，共 24分 ) 1．將741)( 2 ??? xxxf展開成 )2( ?x 的冪級數(shù)，并求其收斂域 . 2．討論級數(shù) )0)(1()1(21 ?????? anannn 的斂散性 （絕對收斂？條件收斂？ 發(fā)散 ？） . 3． (本題強化班不做，其他班做 .)將 xxf ?)( 在 ],0[ ? 上展 開 成余弦級數(shù) . 3? ． (本題強化班做，其他班不做 .) 函數(shù) ),( yxfz? 由方程 0),( ???xzyyzxF確定，其中 F 可微，且0??xyz ，求 yzyxzx ????? . 五、 (10 分 ) 求 冪級 數(shù) )1()1(11???? ??nnn xnn 在 收 斂域 )1,1(? 內(nèi) 的 和函 數(shù) )(xS ， 并 求數(shù) 項級 數(shù) 2 )1()1(1 1??? ? ??n nn nn 的和 . 六、 (6 分 ) 設(shè)有級數(shù) ???1n nu及 ???1n nv，若 1lim ??? nnn uv，那么這 兩個級數(shù)是否具有相同的斂散性？（若是請證明，若否請舉例說明 .） 08 級 B 下期中 一、填空題 （每小題 4分，共 20 分） 1． 冪級數(shù) ??? ?1 )1(2 n nnnx的收斂域為 . 2． 設(shè) )(xf 以 ?2 為周期，在一個周期上??? ?? ????? 0 , 0 ,4)( ?? xx xxxf， )(xS 為其傅里葉級數(shù)的和函數(shù) ， 則?)(?S . 3． 三個非零向量 cba ??? , 共面的充要條件是 . 4．曲線??????? ???? . 1 ,0),(22xz zyxyxf在 oxy 面上的 投影曲線方程為 . 5． 若 yxz cos2? ，則 ???? yxz2 . 二、單項選擇題 （ 每小題 4分，共 20分 ） 1．將函數(shù) xxxf cossin)( ? 展開成 x 的冪級數(shù)時， 3x 的系數(shù)是 （ ） . （ A） 32 ； （ B） 32? ； （ C） 31 ； （ D） 31? . 2．若 ??? ?1 2sin)1(nkn n?條件收斂 ，則 k 的取值范圍是（ ） （ A） 0?