【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 CN且∠MCN＝60176。∴△CMN是等邊三角形∴∠NMC＝60176。又∵∠DCA＝60176?！唷螻MC＝∠DCA∴MN∥AB【變式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90176。，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如圖所示）。求證：（1）AB＝2BC；（2）CE＝AE＝EB?！敬鸢浮浚?）∵CE、CD三等分∠ACB∴∠1＝∠2＝∠3＝30176。又∵CD⊥AB，∴∠B＝60176。，∠A＝30176。在Rt△ABC中，∠A＝30176。，∴AB＝2BC（2）∵∠A＝∠1＝30176?！郈E＝EA又∵∠B＝∠BCE＝60176?！唷鰾CE是等邊三角形，∴EC＝EB∴CE＝EA＝EB 學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一、填空：等腰三角形的的兩邊長(zhǎng)為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm。等腰三角形的的兩邊長(zhǎng)為3cm和5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm。等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40176。，則頂角為_(kāi)____。在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，則△ABC是____________三角形。若直角三角形斜邊上的中線(xiàn)垂直于斜邊，則它的兩個(gè)銳角的度數(shù)是____________。等腰三角形的一個(gè)角是80176。，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是____________。二、選擇題：3：3，則這個(gè)三角形是（）176。的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長(zhǎng)直角邊在同一條直線(xiàn)上，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）圖1①30176。，120176。；②25176。，75176。；③38176。，52176。；④55176。，70176。；⑤42176。，96176。；⑥28176。，62176。；⑦56176。，68176。；⑧45176。，45176。；⑨60176。，60176。為兩內(nèi)角可以構(gòu)成的三角形中，有等腰三角形（），不能判斷它們?nèi)鹊氖牵ǎ?、一腰?duì)應(yīng)相等、一腰對(duì)應(yīng)相等、底邊對(duì)應(yīng)相等三、解答題等腰三角形的周長(zhǎng)為12，且其各邊長(zhǎng)均為整數(shù)，求各邊長(zhǎng)。（1）等腰三角形的一個(gè)角為50176。，求另外兩個(gè)角的度數(shù)。（2）等腰三角形的一個(gè)外角為100176。，求該等腰三角形的頂角。等腰三角形一腰上的中線(xiàn)將等腰三角形的周長(zhǎng)分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長(zhǎng)。如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。圖2求證：AE＝CD。如圖3所示，D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點(diǎn)E、F，且BF＝CE。判斷△ABC的形狀并證明。圖3“有兩邊相等的兩個(gè)直角三角形全等”這個(gè)命題對(duì)與否，甲、乙、丙三位同學(xué)給出了如下論斷：甲：正確。因?yàn)槿魞蛇叾际侵苯沁?，則用（SAS）全等識(shí)別法就可以證它們?nèi)取Ｒ遥赫_。因?yàn)槿羝渲幸贿吺侵苯沁叄硪贿吺切边?，則可用（HL）定理證全等。丙：不正確。若一個(gè)三角形較長(zhǎng)的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長(zhǎng)的直角邊相等，則顯而易見(jiàn)兩個(gè)三角形不全等。請(qǐng)你就這三個(gè)同學(xué)的見(jiàn)解發(fā)表自己的意見(jiàn)。如圖所示，是城市部分街道示意圖，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G為“公共汽車(chē)”停靠點(diǎn)，“甲公共汽車(chē)”從A站出發(fā)，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)F站，“乙公共汽車(chē)”從B站出發(fā)，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)G站。如果甲、乙分別同時(shí)從A、B站出發(fā)，在各站耽誤的時(shí)間相同，兩車(chē)速度也一樣，試問(wèn)哪一輛公共汽車(chē)先到達(dá)指定站？為什么？答案與解析：一、填空題1。12（2cm不能為腰長(zhǎng)，只能為底邊長(zhǎng)（2+2＜5），所以周長(zhǎng)為2+5+5=12（cm）。）2。13或11（3cm既能為腰長(zhǎng)，又能為底邊長(zhǎng)(5+5＞3+3＞5)，∴周長(zhǎng)為3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）3。50176?；?30176。（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形內(nèi)，也可能在三角形外，因此要分類(lèi)討論。）4。等邊5。45176。；45176。點(diǎn)撥：等腰三角形三線(xiàn)合一。6。80176。，20176?；?0176。，50176。點(diǎn)撥：80176。是銳角，即可以是頂角，也可以是底角。二、選擇題點(diǎn)撥：三個(gè)外角度數(shù)分別為360176。＝90176。，360176。＝135176。，135176。，∴三角形為等腰直角三角形。 點(diǎn)撥：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)定理，排除②③⑥。點(diǎn)撥：本題綜合考查三角形全等識(shí)別法和等腰三角形性質(zhì)定理。A（SAS），B（SSS），D（ASA）。三、解答題設(shè)其腰長(zhǎng)為x，則底邊長(zhǎng)為（12－2x），由題意得：解得3＜x＜6 ∵x為整數(shù)∴x=4或5 ∴該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：4或2。(1)分兩種情況：①若已知的角為頂角，則另外兩個(gè)角均為底角，設(shè)其度數(shù)為x,則2x+50=180，解得：x=65；②若已知的角為底角，可設(shè)頂角為y，則502+y=180, 解得：y=80綜上所述：另兩個(gè)角分別為65176。、65176?；?0176。、80176。注意該題的變式：題中有可能把問(wèn)題變成要求頂角的度數(shù)，也要注意分類(lèi)討論。(2)分兩種情況：①若已知的角為頂角的外角，則頂角=180176。－100176。=80176。；②若已知的角為底角的外角，則底角=180176。－100176。=80176。，所以頂角=180176。－80176。2=20176。綜上所述：該等腰三角形的頂角=80176?；?0176。解：設(shè)腰長(zhǎng)為xcm，底邊長(zhǎng)為ycm,則：或解得或∵，∴以上兩解均合乎題意。∴該等腰三角形的各邊長(zhǎng)分別為cm、cm、cm或cm、cm、cm。：∵△ABC是等邊三角形∴AB＝BC，∠ABC＝60176?！摺鰾DE是等邊三角形∴BE＝BD，∠DBC＝60176。由（SAS）全等識(shí)別法可知△ABE≌△CBD，∴AE＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）5．解：△ABC是等腰三角形證明：∵DF⊥AB，DE⊥AC∴∠BFD＝∠CED＝90176。∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD＝CD又∵BF＝CE，由（HL）全等識(shí)別法可知△BFD≌△CED?！唷螧＝∠C，即△ABC是等腰三角形。：甲、乙兩同學(xué)的回答都是片面的。他們都想當(dāng)然地理解成兩邊是對(duì)應(yīng)的。恰恰原命題中丟掉了“對(duì)應(yīng)”二字，丙同學(xué)的論斷是正確的。所以我們一定要重視全等三角形中的“對(duì)應(yīng)”二字。點(diǎn)撥：本題恰又是一個(gè)易錯(cuò)題，甲、乙兩同學(xué)的錯(cuò)誤常出現(xiàn)在日常學(xué)習(xí)中，需引起注意。：同時(shí)到達(dá)。理由如下：∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE∴△ABC和△ECD都是正三角形∴∠ACB＝∠ECD＝60176?！唷螦CE＝60176。∴∠BCE＝∠ACD＝120176?！唷鰾CE≌△ACD（SAS）∴BE＝AD?！螩BE＝∠CAD在△BCF與△ACG中，∠CBF＝∠CAGBC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60176?！唷鰾CF≌△ACG（ASA）∴CF＝CG又甲公共汽車(chē)的路程和為AD＋DE＋EC＋CF乙公共汽車(chē)的路程和為BE＋ED＋DC＋CG，∴兩車(chē)同時(shí)到達(dá)指定站。能力提升：、D兩點(diǎn)在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上，且∠ACB=50176。，∠ADB=80176。，求∠CAD的度數(shù)。，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40176。，如果D、E是直線(xiàn)AB上的兩點(diǎn)，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)?！鰽BC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，△ABC的高為h?！叭酎c(diǎn)P在一邊BC上（如圖（1）），此時(shí)結(jié)論：”。，可得（1）請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖（2））、點(diǎn)P在△ABC外（如圖（3））這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明。與h之間又有怎樣的關(guān)系？ 16（2）若不用上述信息，你能用其他方法證明猜想結(jié)論嗎？答案與解析：1．（1）如圖，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線(xiàn)段AB的同側(cè)時(shí)，∵C、D兩點(diǎn)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，∴CE是∠ACB的角平分線(xiàn)，∴∠ACE=∠BCE，而∠ACB=50176。，∴∠ACE=25176。，同理可得∠ADE=40176。，∴∠CAD=∠ADE∠ACE=40176。25176。=15176。（2）如圖，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線(xiàn)段AB的兩側(cè)時(shí)，同（1）的方法可得∠ACE=25176。，∠ADE=40176。，于是∠CAD=180176。（∠ADE+∠ACE）=180176。（40176。+25176。）=180176。65176。=115176。故∠CAD的度數(shù)為15176。或115176。2.（1）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且都在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖1，圖1圖2∵BE=BC，∴∠BEC=（180176?！螦BC）247。2，∵AD=AC，∴∠ADC=（180176?！螪AC）247。2=∠BAC247。2，∵∠DCE=∠BEC∠ADC，∴∠DCE=（180176?！螦BC）247。2∠BAC247。2=（180176?！螦BC∠BAC）247。2=∠ACB247。2=40176。247。2=20176。（2）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且點(diǎn)D在D’的位置，E在E’的位置時(shí)，如圖2，＝∠ACB247。2=2017