【文章內(nèi)容簡介】 53 =8 105 ∴①當精確到 時，只要展開式的前三項和， 1++=，近似值為 。 ②當精確到 時，只要取展開式的前四項和， 1+++=，近似值為 。 點評：（ 1）用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當?shù)夭鸪蓛身椫突蛑钤?按二項式定理展開推得所求結(jié)論； （ 2）用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。 第 10 頁 共 25 頁 五．思維總結(jié) 解排列組合應用題的基本規(guī)律 1． 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種： ① 單獨使用； ② 聯(lián)合使用。 2． 將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關(guān)鍵一步。 3． 對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮： （ 1） 元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素 ； （ 2） 位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置 ； （ 3） 整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù) ，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。 4． 對解組合問題，應注意以下三點： （ 1） 對 “組合數(shù) ”恰當?shù)姆诸愑嬎?，是解組合題的常用方法 ； （ 2） 是用 “直接法 ”還是 “間接法 ”解組合題，其原則是 “正難則反 ”； （ 3） 設(shè)計 “分組方案 ”是解組合題的關(guān)鍵所在。 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 高三新 數(shù)學 第一輪復習教案（講座 38） — 導數(shù)、定積分 一．課標要求： 1．導數(shù)及其應用 （ 1）導數(shù)概念及其幾何意義 ① 通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時 變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵 ； ② 通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義 。 （ 2）導數(shù)的運算 ① 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù) y=c， y=x， y=x2， y=x3， y=1/x， y=x 的導數(shù) ； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如 f（ ax+b））的導數(shù) ； ③ 會使用導數(shù)公式表 。 （ 3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 ① 結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ； ② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性 。 （ 4）生活中的優(yōu)化問題舉例 例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用 。 （ 5）定積分與微積分基本定理 第 11 頁 共 25 頁 ① 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念 ； ② 通過實例（如變速運動 物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義 。 （ 6）數(shù)學文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標準》中 數(shù)學文化 的要求。 二．命題走向 導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內(nèi)容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數(shù)的應用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學知識結(jié)合起來 ，綜合考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計 20xx 年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化： （ 1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題； （ 2） 07 年高考可能涉及導數(shù)綜合題，以導數(shù)為數(shù)學工具考察：導數(shù)的物理意義及幾何意義，復合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。 定積分是新課標教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常 廣泛，因而 07 年的高考預測會在這方面考察，預測 07 年高考呈現(xiàn)以下幾個特點： （ 1）新課標第 1 年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題； （ 2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。 三．要點精講 1．導數(shù)的概念 函數(shù) y=f(x),如果自變量 x 在 x0 處有增量 x? ，那么函數(shù) y 相應地有增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ），比值xy??叫做函數(shù) y=f（ x）在 x0 到 x0 + x? 之間的平均變化率，即xy??= x xfxxf ? ??? )()( 00 。 如果當 0??x 時，xy??有極限，我們就說函數(shù) y=f(x)在點 x0 處可導，并把這個極限叫做 f（ x）在點 x0 處的導數(shù)，記作 f’（ x0 ）或 y’|0xx?。 第 12 頁 共 25 頁 即 f（ x0 ） =0lim??x xy??=0lim??x x xfxxf ? ??? )()( 00。 說明： （ 1） 函數(shù) f（ x）在點 x 0 處可導，是指 0??x 時，xy??有極限。如果xy??不存在極限，就說函數(shù)在點 x0 處不可導，或說無導數(shù)。 （ 2） x? 是自變量 x 在 x 0 處的改變量， 0??x 時，而 y? 是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f（ x）在點 x0 處的導數(shù)的步驟（可由學生來歸納）： （ 1）求函數(shù)的增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ）； （ 2）求平均變化率xy??=x xfxxf ? ??? )()( 00； （ 3） 取極限，得導數(shù) f’(x0 )=xyx ???? 0lim。 2．導數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f（ x）在點 x0 處的導數(shù)的幾何意義是曲線 y=f（ x）在點 p（ x0 ， f（ x0 ）） 處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f（ x）在點 p（ x0 ， f（ x0 ））處的切線的斜率是 f’（ x0 ）。相應地，切線方程為 y－ y0 =f/（ x0 ）（ x－ x0 ） 。 3． 常見函數(shù)的導出公式． （１） 0)( ??C （ C 為常數(shù)） （２） 1)( ???? nn xnx （３） xx cos)(sin ?? （４） xx sin)(cos ??? 4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則 法則 1：兩個函數(shù)的和 (或差 )的導數(shù) ,等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和 (或差 )， 即： ( .) 39。39。39。 vuvu ??? 法則 2：兩個函數(shù)的積的導數(shù) ,等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù) ,加上第一個 函數(shù)乘以第二 個函數(shù)的導數(shù)，即： .)( 39。39。39。 uvvuuv ?? 第 13 頁 共 25 頁 若 C 為常數(shù) ,則 39。39。39。39。39。 0)( CuCuCuuCCu ????? .即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù) ： .)( 39。39。 CuCu ? 法則 3 兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： ??????vu‘ =2 39。39。 v uvvu ?（ v? 0）。 形如 y=f? x(? ?) 的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解 —— 求導 —— 回代。法則： y＇ |X = y＇ |U u＇ |X 5．導數(shù)的應用 （ 1） 一般地，設(shè)函數(shù) )(xfy? 在某個區(qū)間可導，如果 39。f )(x 0? ，則 )(xf 為增函數(shù)；如果 39。f 0)( ?x ，則 )(xf 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 39。f 0)( ?x ，則 )(xf 為常數(shù)； （ 2） 曲線在極值點處切線的斜率為 0，極值點處的導數(shù)為 0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正； （ 3） 一般地，在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f )(x 在 [a， b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù) ? )(x 在 (a， b)內(nèi)的極值； ②求函數(shù) ? )(x 在區(qū)間端點的值 ?(a)、 ?(b)； ③將函數(shù) ? )(x的各極值與 ?(a)、 ?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．定積分 （ 1）概念 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，用分點 a＝ x0x1? xi－ 1xi? xn＝ b 把區(qū)間 [a， b]等分成 n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間 [xi－ 1， xi]上取任一點 ξ i（ i＝ 1， 2，? n）作和式 In＝ ?ni f1＝(ξi)△ x（其中△ x 為小區(qū)間長度），把 n→∞即△ x→ 0 時，和式 In的極限叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間[a， b]上的 定積分 ，記作： ?ba dxxf )(，即 ?ba dxxf )(＝ ????nin f1lim(ξi)△ x。 這里， a 與 b 分別叫做 積分下限 與 積分上限 ，區(qū)間 [a， b]叫做 積分區(qū)間 ，函數(shù) f(x)叫做 被積函數(shù) ， x 叫做 積分變量 ， f(x)dx 叫做 被積式。 第 14 頁 共 25 頁 基本的積分公式： ?dx0 ＝ C； ? dxxm ＝ 111 ?? mxm＋ C（ m∈ Q， m≠－ 1）； ?x1dx＝ ln x ＋ C； ? dxex ＝ xe ＋ C； ? dxax ＝aaxln＋ C； ? xdxcos ＝ sinx＋ C； ? xdxsin ＝－cosx＋ C（表中 C 均為常數(shù)）。 （ 2）定積分的性質(zhì) ① ? ??ba ba dxxfkdxxkf )()(（ k 為常數(shù)）； ② ? ? ????ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()()()(； ③ ? ? ???ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(（其中 a＜ c＜ b) 。 （ 3）定積分求曲邊梯形面積 由三條直線 x＝ a， x＝ b（ ab）， x 軸及一條曲線 y＝ f（ x）(f(x)≥ 0)圍成的曲邊梯的面積 ?? ba dxxfS )(。 如果圖形由曲線 y1＝ f1(x)， y2＝ f2(x)（不妨設(shè) f1(x)≥ f2(x)≥ 0），及直線 x＝ a， x＝ b（ ab）圍成，那么所求圖形的面積S＝ S 曲邊梯形 AMNB－ S 曲邊梯形 DMNC＝ ? ??ba ba dxxfdxxf )()( 21。 四．典例解析 題型 1：導數(shù)的概念 例 1．已知 s= 221gt，（ 1）計算 t 從 3 秒到 秒 、 秒 、 秒 … .各段內(nèi)平均速度；（ 2）求 t=3 秒是瞬時速度。