【文章內(nèi)容簡介】 學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題，公元前 3 世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（ Euclid,公元前 300 前后）編寫了一本書，書名叫《原本》（ Elements），為了說明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實其他命題的起始依據(jù) .其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理（ axiom） .除了公理外，其他真命題的正確性都通過推理的方法證實 .推理 的過程稱為證明（ proof） .經(jīng)過證明的真命題稱為定理（ theorem） ,而證明所需的定義、公理和其他定理都編寫在要證明的這個定理的前面 . 《原本》問世之前，世界上還沒有一本數(shù)學(xué)書籍像《原本》這樣編排 .因此，《原本》是一部具有劃時代意義的著作 . 對，我們這套教材有如下命題作為公理： 被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線 平行 . ，同位角相等 . . . 等 . ，對應(yīng)角相等 . ［師］同學(xué)們來朗讀一次 . ［師］好 .除這些以外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理 . 在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替 .如：如果 a=b,b=c,那么， a=c,這一性質(zhì)也看做公理，稱為“等量代換 ”. 注意：（ 1）公理是通過長期實踐反復(fù)驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認(rèn)的真命題 . （ 2）公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù) . 好，下面我們通過 “讀一讀 ”來進一步了解《原本》這套書，進而了解數(shù)學(xué)史 . Ⅲ .課堂練習(xí) P185 讀一讀 P181~185，然后小結(jié) . Ⅳ .課時小結(jié) 本節(jié)課我們主要研究了命題的組成及真假 .知道任何一個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成 .命題分為真命題和假命題 . 在辨別真假命題時 .注意：假命題只需舉一個反例即可 .而真命題除公理和性質(zhì)外，必須通過推理得證 . 大家要會靈活運用本節(jié)課談到的公理來證明一些題 . 課后作業(yè) Ⅴ . （一）課本 P187 習(xí)題 2 （二） P188~190 （ 1）平行線的判定方法的證明 （ 2）如何進行推理 Ⅵ .活動與探究 將一個命題的條件與結(jié)論交換得到一個 新命題，我們稱這個命題為原命題的逆命題，請寫出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題 . . . ，同位角相等 . ，那么這兩個數(shù)之和是正數(shù) . ［過程］讓學(xué)生充分考慮，使他們能分清命題的題 設(shè)和結(jié)論 .寫出逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的題設(shè)和結(jié)論，而判別真假則依賴于對知識的掌握 . ［結(jié)果］解：（ 1）凡相等的角都是直 .假命題 （ 2）相等的角是對頂角 . 假命題 （ 3）同位角相等，兩直線平行 . 真命題 （ 4）如果兩個數(shù)之和是正數(shù)，那么這兩個數(shù)中必須有一個正數(shù) . 真命題 作業(yè) 習(xí)題 2 板書設(shè)計 167。 定義與命題 一、命題的組成 條件：已知事項 結(jié)論：由已知事項推出的事項 一般地：命題常寫成： “如果 …… ，那么 ……” 二、做一做 三、命題的真假???假命題真命題 四、公理五、讀一讀 六、課時小結(jié) 七、課后作業(yè) 教后反思 作業(yè)問題探究 定義與命題 同步練習(xí) 基礎(chǔ)鞏固 一、訓(xùn)練平臺（每小題 6分，共 24分） 1．下列命題中是真命題的是（ ） A．平行 于同一條直線的兩條直線平行 。 B．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等 C．兩個角相等，這兩個角一定是對 頂角 。D．相等的兩個角是平行線所得的內(nèi)錯角 2．下列語句中不是命題的是（ ） A．延長線段 AB。 B．自然數(shù)也 是整數(shù) C．兩個銳角的和一定是直角 。 D．同角的余角相等 3．下列語句中是命題的是（ ） A．這個問題 B．這只筆是黑色的 C．一定相等 D．畫一條線段 4．下列命題是假命題的是（ ） A．互補的兩 個角不能都是銳角 。 B．若 a⊥ b， a⊥ c，則 b⊥ c C．乘積是 1的兩個數(shù)互為倒數(shù) 。 D．全等三角形的對應(yīng)角相等 二、提高訓(xùn)練（第 1～ 4小題各 6分，第 5～ 6小題各 12分，共 48 分） 1．（ 2021上海）下列命題中正確的是（ ） A．有限小數(shù)是有理數(shù) 。 B．無限小數(shù)是無理數(shù) C．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng) 。 D．?dāng)?shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng) 2．（ 2021黑龍江） 現(xiàn)有下列 命題，其中真命題的個數(shù)是（ ） ①（ 5） 2 的平方根是 5；② 近似數(shù) 103 有 3個有效數(shù)字； ③單項式 3x2y與單項式 2xy2是同類項；④正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4[ 3．（ 2021四川）下列命題中，真命題是（ ） A．有兩邊相等的平行四邊形是菱形 。 B．有一個角是直角的四邊形是矩形 C．四個角 相等的菱形是正方形 。 D．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 4．某工程隊，在修建蘭定高速公路時，有時需將彎曲的道路改直， 根據(jù)什么公理可以說 明這樣做能縮短路程（ ） A．直線的公理 。 B．直線的公理或線段最短公理 C．線段最短公理 。 D．平行公理 5．證明：兩條平行線被第三條直線所截，則它們的 一對同位角的平分線互相平行 ．（要求畫圖，寫出已知、求證、證明） 6．在一次數(shù)學(xué)競賽中， A， B， C， D， E五位同學(xué)分別得到了前五名（ 沒有并列同一名次的）．關(guān)于各人的名次大 家作出了下面的猜測： A說：“第二名是 D，第三名是 B”． B說：“第二名是 C，第四名是 E．” C說：“第一名是 E，第五名是 A．” D說：“第三名是 C，第四名是 A．” E說：“第二名是 B，第五名是 D．” 結(jié)果每人都只猜對了一半，請判斷他們的名次如何． 三、探索發(fā)現(xiàn)（共 14分） 在四邊形 ABCD中，給出下列論斷：① AB∥ DC；② AD=BC；③∠ A=∠ C． 以其中兩個作為條件，另外一個作為結(jié)論，用“如果??那么??”的形式， 寫出一個你認(rèn)為正確的命題． 四、拓展創(chuàng)新（共 14分） 如圖所示， ABCD 中， AQ， BN， CN， DQ分別是∠ DAB，∠ ABC，∠ BCD，∠ CDA的平分線， AQ 與 BN 交于 P， CN 與 DQ 交于 M，在不添加其他條件的情況下，試寫出一個由上述條件推出的結(jié)論，并給出證明過程．（推理過程中用到平行四邊形和角平分線這兩個條件） 中考演練 （ 2021天津）下列 命題正確的是（ ） A．對角線互相平分的四邊形是菱形 。 B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的四邊 形是菱形 。 D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 課題：167。 為什么它們平行（總第 11036 號） 主備人 李 興冰 上課 教師 課 時 教研組長簽字 主修人 余法宗 上課時間 教學(xué)目標(biāo) . . （二）能力訓(xùn)練要求 ，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力 . . ，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式 . （三）情感與價值觀要求 通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動，給學(xué)生滲透化歸思想和分類思想 . 教學(xué)重點 平行線的判定定理、公理 . 教學(xué)難點 推理過程的規(guī) 范化表達 . 教法學(xué)法 嘗試指導(dǎo)、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)與討論相結(jié)合 . 教學(xué)流程（第 4 課時） 步 驟 教師活動 學(xué)生活動 個性修改 一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 教師提出問題： 前面我們探索過直線平行的條件 .大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？ 學(xué)生回答，教師點評 .這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活動得到的 . 上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題 .除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實 . 我們知道： “在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線 ”是定義 .“兩條直線被第 三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 ”是公理 .那其他的三個真命題如何證實呢？這節(jié)課我們就來探討第三節(jié)：為什么它們平行 . 二、新課講解 ［師］看命兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行 . ［師］這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號語言 .所以根據(jù)題意，可以把這個文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式： 圖 6－ 12 如圖 6－ 12，已知， ∠ 1和 ∠ 2 是直線 a、 b被直線 c截出的同旁內(nèi)角，且 ∠ 1 與 ∠ 2 互補，求證： a∥ b. 那 如何證明這個題呢？我們來分析分析 . ［師生共析］要證明直線 a 與 b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明 .這時從圖中可以知道： ∠ 1與 ∠ 3是同位角，所以只需證明 ∠ 1=∠ 3，則 a 與 b 即平行 . 因為從圖中可知 ∠ 2 與 ∠ 3 組成一個平角，即∠ 2+∠ 3=180176。,所以： ∠ 3=180176。－ ∠ ∠ 2 與 ∠ 1 互補，即： ∠ 2+∠ 1=180176。,所以 ∠ 1=180176。－ ∠ 2,因此由等量代換可以知道： ∠ 1=∠ 3. ［師］好 .下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫 .（在書寫的同時說明：符號 “∵ ”讀作 “因為 ”， “∴ ”讀作 “所以 ”） 證明： ∵∠ 1 與 ∠ 2 互補（已知） ∴∠ 1+∠ 2=180176。（互補的定義） ［ ∵∠ 1+∠ 2=180176。］ ∴∠ 1=180176。－ ∠ 2（等式的性質(zhì)） ∵∠ 3+∠ 2=180176。（ 1 平角 =180176。） ∴∠ 3=180176。－ ∠ 2（等式的性質(zhì)） ［ ∵∠ 1=180176。－ ∠ 2， ∠ 3=180176。－ ∠ 2］ ∴∠ 1=∠ 3（等量代換） ［ ∵∠ 1=∠ 3］ ∴ a∥ b（同位角相等，兩直線平行） 這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理 . 這一定理可簡單地寫成： 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 . 注意：（ 1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù) .用來證明新定理 . （ 2）方括號內(nèi)的 “∵∠ 1+∠ 2=180176?！钡?，就是上面剛剛得到的 “∴∠ 1+∠ 2=180176?！?，在這種情況下，方括號內(nèi)的這一步可以省略 . （ 3）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能 “想當(dāng)然 ”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理 .在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi) . 好，下面大家來議一議 小明用下面的方法作出了平行線，你認(rèn)為他的作法對嗎？為什么？ 圖 6－ 13 圖 6－ 14 ［師］從圖中可知： ∠ CFE 與 ∠ FEB 是內(nèi)錯角 .因此可知： “內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ”是真命題 .下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個真命題的證明過程 . 圖 6－ 15 ［師生共析］已知，如圖 6－ 15， ∠ 1和 ∠ 2是直線 a、b 被直線 c 截出的內(nèi)錯角，且 ∠ 1=∠ 2. 求證： a∥ b 證明： ∵∠ 1=∠ 2（已知） ∠ 1+∠ 3=180176。（ 1 平角 =180176。） ∴∠ 2+∠ 3=180176。（等量代換） ∴∠ 2 與 ∠ 3 互補（互補的定義 ） ∴ a∥ b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） . 這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理： 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行 . 這一定理可以簡單說成： 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 . ［師］剛才我們是應(yīng)用判定定理 “同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ”來證明這一定理的 .下面大家來想一想 借助 “同位角相等，兩直線平行 ”這一公理，你還能證明哪些熟悉的結(jié)論呢？ 已知，如圖 6－ 16，直線 a⊥ c,b⊥ c. 求證： a∥ b. 圖 6－ 16 證明： ∵ a⊥ c,b⊥ c（已 知） ∴∠ 1=90176?！?2=90176。（垂直的定義） ∴∠ 1=∠ 2（等量代換） ∴ b∥ a（同位角相等，兩直線平行） 由此可以得到： “如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 ”的結(jié)論 . ［師］同學(xué)們討論得真棒 .下面我們通過練習(xí)