【文章內(nèi)容簡介】 37。238。z=z(x)239。z=z(x)238。切線方程：174。v==(1,y162。,z162。)類似的xx01=yy0y162。=zz0z162。法平面方程：xx0+y162。(yy0)+z162。(zz0)=0174。+Fz162。z162。=0236。236。F(x,z,y)=0xx239。Fx162。+Fy162。y162。3）237。222。237。222。v=(1,y162。,z162。)xx162。162。162。162。162。239。238。G(x,y,z)=0238。Gx+Gyyx+Gzzx=02． 空間曲面切平面與法線174。1）F(x,y,z)=0,n=(Fx162。,Fy162。,Fz162。)|P0切平面：Fx162。|p0法線：(xx0)+Fy162。|p0(yy0)+Fz162。|p0(zz0)=0xx0Fx162。|p0=yy0Fy162。|p0=zz0Fz162。|p0174。2）z=f(x,y)222。F=f(x,y)z222。n=(fx162。,fy162。,1)切平面：類似地fx162。(xx0)+fy162。(yy0)(zz0)=0法線：xx0fx162。=yy0fy162。=zz01236。x=x(u,v)239。3）*237。y=y(u,v)239。z=z(u,v)238。174。（參數(shù)方程形式）174。切線 162。,yu162。,zu162。),v2=(xv162。,yv162。,zv162。)v1=(xu174。174。174。174。174。174。i162。xvj162。yu162。yv162。n=v1180。v2=xu230。182。(y,z)182。(z,x)182。(x,y)246。162。=231。zu231。182。(u,v),182。(u,v),182。(u,v)247。247。232。248。162。zvk3． 方向?qū)?shù)u=u(x,y,z)182。u182。l=182。u182。xcosa+182。u182。ycosb+182。u182。zcosg=gradul174。o174。（梯度在l方向投影）4． 梯度、散度、旋度230。182。182。182。246。247。209。=231。，231。247。232。182。x182。y182。z248。230。182。u182。u182。u246。247。gradu=209。u=231。，231。247。232。182。x182。y182。z248。174。174。174。174。174。divA=209。A=182。P182。x+182。Q182。y+182。R182。z174。174。rotA=209。180。A=i182。182。xPj182。182。yQk182。182。zR 例題例1 求曲線x174。=t,y=t,z=t2174。23上與平面x+2y+z=4平行的切線方程。174。174。174。174。解 切向量t2=(1,2t,3t)，n=(1,2,1)由t^n，則tn=0，即，14t+3t=0222。t1=1,t2=174。當(dāng)t=1時 t=(1,2,3),x1=1,y1=1,z1=1，切線方程為=13174。x11=y+12=z13當(dāng)t時 t2=(1,21111,),x2=,y1=,z1=333927，x切線方程為13=y+119=23z1312722236。239。x+y=10例2 求空間曲線237。22239。238。x+z=10在點(diǎn)(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。解 22236。239。x+y=10237。22239。238。x+z=10確定了y=y(x),z=z(x)，對x求導(dǎo)237。236。2x+2yy162。=0238。2x+2zz162。=0x3y13，y162。=z162。==z13xyxz174。于1法平面方程為x33(y1)3(z1)=0，即x3y3z+3=0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點(diǎn)：y162。=3,z162。=3,v=(1,3,3)切線方程為 =+y+z=x的切平面。使之與平面xy174。174。22z2=2174。垂直，同時也與xyz=2垂直。174。解 切平面法向量n174。=(2x1,2y,2z)，n1=(1,1,12)，n2=(1,1,1)，依題意n1n=0174。174。既有2x 12yz=0（1）（2）n2n=0 2x12y12z=0聯(lián)立（1）（2）和原方程 236。2+2x=239。4239。239。2得解237。y=4239。239。z=0239。238。236。22x=239。4239。239。2，237。y=4239。239。z=0239。238。174。 n01174。230。2230。2246。22246。=231。，0247。，n02=231。,,0247。 231。2247。231。247。222232。248。232。248。切平面22(x2+42)+22(y24)=0即x+y=x+y=1+21222得2230。22246。22231。x247。(y+)=0 231。247。2232。424248。=x+2y+3z222即例4 求u解 令在(1,1,1)點(diǎn)沿x2+y+z=3的外法線方向的方向?qū)?shù)。22222F(x,y,z)=x+y+z3，F(xiàn)x162。=2x,Fy162。=2y,Fz162。=2z174。于P(1,1,1)點(diǎn)n=(2,2,2)，n=(174。o13,13,13)182。u182。n=182。u182。xcosa+182。u182。ycosb+182。u182。zcosg111249。12233。=234。2x+4y+6z|==43(1,1,1)3333235。174。例5 設(shè)f(x,y)在182。f182。L3=|p0=182。f182。x1246。174。11246。230。1230。p0點(diǎn)可微，L1=231。，247。,L2=231。247。2222232。248。232。248。7。，182。f182。L1=1,182。f182。L2=0174。試確定L3使52182。f182。ycosb1=1，182。f182。L2=182。f182。xcosa2+182。f182。ycosb2=0，則 解 182。f182。L1cosa1+ 236。182。f239。182。x239。237。239。182。f239。238。182。x12+182。f182。y12=1222。182。f182。x=12182。y,182。f=121246。182。f1230。=0231。247。+182。y2248。2232。174。 設(shè)L3=(cosa3,cosb3)從而182。f182。L3=182。f182。xcosa3+75182。f182。xcosb3=75235 即1245cosa3+ 此時cos12cosb3=45或cos752cosa3+sina3=174。，解得cos174。a3=或cosa3=b3=b3=35230。34246。即L3=231。,247。55248。232。例6 或L32230。43246。=231。,247。 232。55248。2 u=lnx+y+z2，求div2(gradu)。解 div(gradu)=209。(209。u)=209。u=12ln(x+y+z)222182。u182。x22+182。u182。y222+182。u182。z22。u=，2182。u182。x22=xx+y+z222222，2222182。u182。x22=x+y+zx2x(x+y+z)=x+y+z222(x+y+z)由對稱性 182。u182。y22=xy+z222222(x+y+z)2，182。u182。z22=x+yz222222(x+y+z)2從而 div(gradu)=1x+y+z222例7 設(shè)a, b, c為常數(shù)，F(xiàn)證明(u,v)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。證 xayb,)=0上任一點(diǎn)切平面都通過某定點(diǎn)。zczc11xayb162。，F(xiàn)y162。=F2162。，F(xiàn)162。=F162。Fx162。=F1162。Fz1222zczc(zc)(zc)F（則切平面方程為 F1162。取1zc(Xx)+F2162。1zc(Yy)1(zc)2[F162。(xa)+F2162。(yb)](zy)=0x=a,Y=b,Z=c，則對任一的(x,y,z)點(diǎn)上式均滿足，即過任一點(diǎn)的切平面都過(a,b,c)點(diǎn)。(xaz,ybz)=0上任一點(diǎn)切平面都通過某定直線平行（F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）174。例8 設(shè)a,b為常數(shù)，證明曲面F證174。Fx162。=F1162。，F(xiàn)y162。=F2162。，F(xiàn)z162。=aF1162。bF2162。，即n=(F1162。,F2162。,aF1162。bF2162。)，174。174。174。174。取l=(a,b,1)，則nl=0，n^l，曲面平行l(wèi)，取直線xx0ao=yy0b=zz01，則曲面上任一點(diǎn)的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數(shù)u5方向?qū)?shù)最大？這個最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿那個方向減少得最快，沿哪個方向u的值不變？解 =xxy+y22在點(diǎn)M(1,1)沿方向n=1(2,1)的方向?qū)?shù)，并指出u在該點(diǎn)沿哪個方向的gradu|(1,1)=(2xy,2yx)|(1,1)=(3,3)，uoM在點(diǎn)M(1,1)沿no方向的方向?qū)?shù)為182。u182。n1246。3230。2o=(gradu)n|M=(3,3)231。,247。=5248。5232。5，方向?qū)?shù)取得最大值的方向?yàn)樘荻确较?，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令logradu|M=32，u沿負(fù)梯度方向減少最快。=(cosq,sinq)，則，182。u182。l182。u182。lMp246。230。o=(gradu|M)l=3cosq+3sinq=32sin231。q247。4248。232。p4或q令=0，得q==p+p4，故在點(diǎn)(1,1)處沿q=p4和p+p4函數(shù)u得值不變化。例10 一條鯊魚在發(fā)現(xiàn)血腥味時，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進(jìn)行試驗(yàn)表明，如果血源在海平面上，建立坐標(biāo)系味：坐標(biāo)原點(diǎn)在血源處，xOy2坐標(biāo)面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(diǎn)(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數(shù)）的近似值C=e(x+y+2z)/10。（1）求鯊魚從點(diǎn)231。1,1,230。232。1246。247。（單位為海里）出發(fā)向血源前進(jìn)的路線G2248。230。232。的方程；（2）若鯊魚以40海里/小時的速度前進(jìn)，鯊魚從231。1,1,1246。247。點(diǎn)出發(fā)需要用多少時間才能到達(dá)血源處？ 2248。解（1）鯊魚追蹤最強(qiáng)的血腥味，所以每一瞬時它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進(jìn)。由梯度的計算公式，得2224230。182。C182。C182。C246。4(x+y+2z)/10247。gradC=231。，=10e(,4z)231。247。232。182。x182。y182。z248。設(shè)曲線G的方程為x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，則G的切線向量t=(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx2x=dy2y=dz4z解初始值問題dy236。dx=239。2y237。2x239。y|=1238。x=1dz236。dx=239。239。2x4z237。239。z|=1x=1239。2238。得y=x解初始值問題得z=12x2，所以所求曲線G的方程為x=x，y=x，z= 12（2）曲線G的長度 x2(0163。x163。1)s=242。101+y162。+z162。dx=xx+ln(3+1)=22242。10233。x2+xdx=234。235。22x+2+ln(x+2249。x+1)0=3212ln2（海里）3+1)1249。ln2（小時） 多元函數(shù)的極值1233。3+ln(234。40235。2一、無條件極值 限于二元函數(shù)z=f(x,y)1． 236。182。z=0239。239。182。x222。求駐點(diǎn)237。182。z239。=0239。238。182。y駐點(diǎn)P2． 于駐點(diǎn)P處計算A=182。z182。x22，B=182。z182。x182。y2，C=182。z182。y22。B2AC0是極值點(diǎn)，A0可取得極小值，A0可取極大值。3． 條件極值：237。236。minu=f(x,y,z)(x,y,z)=0，令L=f(x,y,z)+lj(x,y,z)求無條件極值。例1 求內(nèi)接于橢球面，且棱平行對稱軸的體積最大的長方體。解 設(shè)橢球面方程為 xa22+yb22+zc22=1，長方體于第一卦限上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，則V=8xyz， 22+yb22+zc22=1，令2lxa222230。x2246。yz247。 L=8xyz+l231。++1231。a2b2c2247。232。248。162。=8yz+LxL162。=8xz+y162。=8xy+Lz及=0L(1)=0L(2)=0L(3)2lyb2lzc22xa22+yb22+zc22=1由（1）（2）（3）得xa22=b3yb22=zc22=tc3，代入（3）得t=13，從而 x=a3，y=2，z2==2，此時V=8abc33=839abc。例2 求由方程2x+2y+z+8xzz+8=0所確定的二元函數(shù)z=f(x,y)的極值。解方程兩邊對x,y求偏導(dǎo)數(shù)得：4x+2z182。z182。x+8z+8x182。z182。x182。z182。x=0?（1）4y+2z182。z182。y+8x182。z182。y182。z182。y=0?（2）236。4x+8z=016和原方程聯(lián)立得駐點(diǎn)(2,0)，(,0)=0，得237。182。x74y=0182。y238。方程（1）對x,y再求偏導(dǎo)，方程（2）對y求偏導(dǎo) 令182。z=0，182。z。182。z182。z182。