【文章內(nèi)容簡介】 。7235。0233。1249。7249。 0233。7249。即x1=7x2，所以得到對應的特征向量x2=234?！?.1分 235。1對應特征值l2=9的全部特征向量為k2x2，k2為任意非零常數(shù)……….1分（2）因為矩陣A有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個線性無關(guān)的特征向量x1,x2),所以矩陣A可以對角化……………………………………………..2分可逆矩陣P=(x1,x2),即233。10249。9233。1P=234。235。17249。1,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分233。10249。．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP=234。235。02６、所以對角矩陣為217。=234。235。0證明：首先，b1,b2,b3 的個數(shù)與所給的基礎解系a1,a2,a3個數(shù)相同，都為３，即nr=3………………………………………………………………………1分 其次Ab1=Aa1=0,Ab2=A(a1+a2)=0,Ab3=A(a1+a2+a3)=0所以，b1,b2,b3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據(jù)提設條件可以寫出矩陣等式233。1234。(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)0234。234。235。01101249。1………………………………………2分 11110111把它記為B==00=1185。0…….1分P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)=r(A)=3，這說明b1,b2,b3線性無關(guān)………………………2分所以，b1,b2,b3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分***10402100021LL3分 2解：D=002=00012100210002***0215=15LL4分LL3分 =0001=0002解：(1)[A233。1234。E]174。1234。234。235。00100100011112210111111020111211000100249。233。1234。0174。0234。234。1235。001000101122112111121211100100249。0LL1分 1233。1234。 174。0234。234。235。0233。1234。 174。0234。234。235。00249。233。1234。0174。0234。234。1235。01249。1LL2分 11249。233。2234。11222。A=2234。234。1235。1A11249。1LL2分 1B222。X=A1(2）AX=B222。方程兩邊同時左乘233。2234。222。X=2234。234。235。11211,得 A1AX=ABLL2分1249。233。3234。11234。1234。235。00111249。233。5234。0=4234。4234。235。223212249。2LL3分 32解： EB[A]TBX=E222。B(EBT[A)]TX=E222。[BA]X=ELL3分T230。233。2231。234。222。X=231。0231。234。231。234。0232。235。233。1234。2234。=234。0234。234。0234。235。0200249。01T246。247。247。247。247。248。1233。2234。=0234。234。235。00200249。011233。1234。2234。=234。0234。234。0234。235。0120249。00LL3分 10120X1249。0011233。2234。=0234。234。235。00200249。0LL4分 1230。1210246。230。1210246。231。247。231。247。2解：令A=231。1450247。174。231。0660247。LL3分231。0111247。231。0111247。232。248。232。248。230。121231。174。231。011231。000232。0246。247。1247。LL3分 1247。248。所以向量組的秩為3。因為未知數(shù)的個數(shù)大于向量組的秩，所以向量組線性相關(guān)?！?分 230。200246。231。247。2解：f的矩陣為A=231。03a247?！?分231。0a3247。232。248。2l03la0a3l=(2l)3laa3l先求A的特征值，AlE=00=(2l)(l6l+9a)=0……（1）……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5?！?分將λ1=1代入（1）式，得(21)(16*1+9a)=0222。a=177。四、證明題2證：由已知可知AAT=EBBT=E……2分AT2222A+B=AA+AB=E+AB=BB+AB TTTTT(BT+AT)B=BT+ATB=A+BB……4分 再由A=B，又正交陣的行列式為177。1……1分 不妨設A=1，則B=1則 A+B=A+B，故A+B=0……3分第三篇：線性代數(shù)試卷及答案1一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）31（1）三階行列式111311113111=3230。12246。230。121246。231。247。（2）設A=231。247。,B=231。11247。，則AB=247。232。248。（3）已知a=(1,2,3)T,b=(1,1,1)T，則agbT=247。1（4）設A=231。031247。，則A=247。232。248。230。1213246。230。1246。231。247。231。247。3247。,b=231。5247。，且線性方程組Ax=b無解，則a=_____.（5）設A=231。214231。0a21247。231。6247。232。248。232。248。二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1．計算n級行列式101111011LLLLL1110111110。111LLLLL233。202249。234。2．設三階方陣A和B滿足關(guān)系式AB=2A+B,且A=040,求(AE)1。234。234。235。2023．求下面線性方程組的通解236。x1x2x3+x4=0239。237。x1x2+x33x4=1239。xx2x+3x=2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1．設a1=(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,t)。（1）問當t為何值時，向量組a1,a2,a3線性無關(guān)？（2）當t為何值時，向量組a1,a2,a3線性相關(guān)？（3）當向量組a1,a2,a3線性相關(guān)時，將a3表示為a1和a2的線性組合。236。lx1+x2+x3=1239。2．l為何值時，線性方程組237。x1+lx2+x3=l239。x+x+lx=l23238。12（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個解。四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）1．設b1=3a1+2a2,b2=a2a3,b3=4a35a1，且a1,a2,a3線性無關(guān)，證明：向量組b1,b2,b3也線性無關(guān)。2．設A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A=A填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）**n247。231。247。231。222011247。231。247。231。231。333247。231。023247。232。248。；232。248。；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）：0111110111111111101110111LLLLL1101111101LLLLL1111011101n1n1n1Ln1n11=1L1111110…………………………………………………….（6分）01L1110L11LLLLL11L0111L10………….（3分）LLLLLL=(n1)LLLLL=(n1)00011000LL10001……………………………………………..…….（9分）1L00