等價無窮小量的性質(zhì)及推廣應用(編輯修改稿)
2024-09-04 11:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx? ,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ③ 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、 ()hx ～ 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 8 111limfgfghh?? ? . 證明 ① 因為 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因為 11lim lim 1ffgg? ? ?, 故上式等于 1. ② 因為 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因為 11lim lim 1ffgg??, 故上式等于 1. ③ 要證 111limfgfghh?? ? 成立 ,只需證 111lim 1hfgh f g? ?? ,因為 fg? ～ 11fg? , ()hx ～ 1()hx, 所以結論得證 . 性質(zhì)（ 1）、（ 3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性 ,從而大大地簡化了 計算 .但要注意條件 “l(fā)im ?? =c(≠ 1)” ,“ 39。39。ABCD????≠0” 的使用 . 注意 1）需要注意的是在運用無窮小替換解題時 ,等價無窮小量一般只能在對積商的某一項做替換 ,和差的替換是不行的 . 9 2）以上性質(zhì)說明我們利用無窮小量的代換性質(zhì)將無窮小的等 價替換推廣到和與差的形式 ,并對的不定式極限的求解 作了簡化 ,使其適用的函數(shù)類范圍擴大 ,從而簡化函數(shù)極限的運算過程 ,對不定式極限的求解有很大的意義 . 4 等價無窮小量的應用 等價無窮小量的應用在馮錄祥老師的 171。關于等價無窮小量代換的一個注記 187。、王斌老師的 171。用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討 187。、華東師范大學數(shù)學系的 171。數(shù)學分析187。、盛祥耀老師的 171。高等數(shù)學 187。、馬振明老師和呂克噗老師的 171。微分習題類型分析 187。、Shivakumar N, H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及 劉玉璉老師和傅沛仁老師的 171。數(shù)學分析講義 187。中都有詳細的分析與注解 ,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容 ,再加上自己篩選例題解答例題寫出來的 .請看下面的內(nèi)容： 在求極限中經(jīng)常用到的等價無窮小量有 x ～ sinx ～ arcsinx ～ tanx ～ tanarc x ～ln(1 )x? ～ xe 1, 1 cosx? ～ 212x , 1xa? ～ lnxa,( x →0) . 例 1 求 202tanlim1 cosxxx? ?. 解 當 x →0 時 ,1 cosx? ～ 212x , 2tanx ～ 2x . 原式 = 20 2412limxxx? = 8 .. 例 2 求30 tan sinlimx xxx? ?. 解 原式 = ? ?30 sin 1 coslim cosx xx? ? = 23012lim cosx xxxx? ?? (∵ sinx ～ x ,1 cosx? ～ 212x ) = 12 . 10 此題也可用洛必達法則做 ,但不能用性質(zhì) ② 做 . 所以 ,30 tan sinlimx xxx? ?=30limx xxx? ?=0,不滿足性質(zhì) ② 的條件 ,否則得出錯誤結論 0. 利 用 等 價 無 窮 小 ， 在 做 近 似 計 算 ， 有 時 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，如： 例 3 6 6564求 的 近 似 值 解 因為 0x? 時 , 11n xx n? ? ? . 所以 666 5 11 2 .0 0 5 2 0 86 4 6 4? ? ?. 故 6 65 6 2 . 0 0 5 1 7 564 的 準 確 值 ， 保 留 小 數(shù) 點 后 位 可 得 為 2 . 0 0 5 2 0 8 2 . 0 0 5 1 7 5 ) / 2 . 0 0 5 1 7 5 0 . 0 0 0 0 1 6??相 對 誤 差 為 （ 這 說 明 計 算 精 度 已 經(jīng) 很 高 利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限 例 4 求極限222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x?? ? ?? 解 由于函數(shù)的分母中 2sinx ～ 2x （ x ?0） ,因此只需將函數(shù)分子中的 21 x? 與分母中的 cosx 和 2xe 分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示 ,即： 2 2 4 4111 1 ( )28x x x o x? ? ? ? ?, 221c os 1 (2x x o x? ? ? ）, 2 22e 1 o( )x xx? ? ? . 所以 11 222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x?? ? ??4 4 4 4200 442211( ) ( )88l im l im 33 o ( ) ()1x22xxx o x x o xx x o xx??????????112?? . 例 5 由拉格朗日中值定理 ,對任意的 x ＞ 1,存在 ? (0,1)? ,使得l n (1 ) l n (1 ) l n (1 0 ) 1 xxx x?? ? ? ? ? ? ?.證明 0 1lim ( ) 2x x?? ? . 解 因 2 2ln(
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