用余弦定理證明勾股定理并非循環(huán)論證(編輯修改稿)
2024-11-06 12:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2a^2)/2bc同理cosB=(a^2+c^2b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2c^2)/2ab2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為aBD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c勾股定理可知：AC178。=AD178。+DC178。b178。=(sinB*c)178。+(acosB*c)178。b178。=sin178。B*c178。+a178。+cos178。B*c178。2ac*cosBb178。=(sin178。B+cos178。B)*c178。2ac*cosB+a178。b178。=c178。+a178。2ac*cosB所以，cosB=(c178。+a178。b178。)/2ac2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosAb，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=|AD|=|CB|=a，∠DAC=π∠BCA=πC，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(πC)，asin(πC))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(acosC，asinC),∴AD=(acosC，asinC)而AD=CB∴(acosC，asinC)=(ccosAb，csinA)∴asinC=csinA…………①acosC=ccosAb……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=②得acosC=bccosA，平方得：a2cos2C=b22bccosA+c2cos2A，即a2a2sin2C=b22bccosA+①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+=a2+c22accosB，c2=a2+。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,mc,應(yīng)用余弦定理證明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)同理可得：mb=mc=ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)證畢。第四篇：余弦定理證明余弦定理證明在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為aBD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c勾股定理可知：AC178。=AD178。+DC178。b178。=(sinB*c)178。+(acosB*c)178。b178。=sin178。B*c178。+a178。+cos178。B*c178。2ac*cosB
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