高等數(shù)學(xué)證明題(編輯修改稿)
2024-10-29 10:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 件可知導(dǎo)函數(shù)f39。(x)在[x1,x2]上滿足x206。(x1,x2)，使得f39。39。(x)=f(x2)f(x1)(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且證明在[a,b]內(nèi)有F162。(x)證明在[a,b]內(nèi)有F162。(x)f162。(x)163。0F(x)=1xf(t)dt xa242。a163。0 163。0F162。(x)=x1[(xa)f(x)f(t)dt](2分)2242。a(xa)=1[(xa)f(x)(xa)f(x)](x206。[a,x]204。[a,b])(2分)(xa)2xxf162。(h)(h206。(x,x)204。[a,b])xa=\F162。(x)163。0(2分)1+x)arctanx :當x0時,(1+x)ln（令f(x)=(1+x)ln(1+x)arctanx 0時,f162。(x)=ln(1+x)+1當x所以0 21+xf(x)在(0,+165。)上單調(diào)增(3分)又f(0)=0（\f(x)0即當x0時,(1+x)ln(1+x)arctanx(3分)：當x1時，31。x答案：證：令f(x)=231。3230。232。1246。247。，則 x248。f(x)=39。2=2(1)，xx因為f(x)在[1,+165。)連續(xù)，并且在(1,+165。)內(nèi)f39。(x)0，因此f(x)在[1,+165。)上單調(diào)增加，從而當x1時，f(x)f(1)=0。這就得到3(x1)。xx2,x0.(8分)：ln(1+x)x2證明: 令x2f(x)=ln(1+x)x+,(2分)x2f(0)=0,f39。(x)=0, x1+x則f(x)在[0,+165。)上連續(xù)，在(0,+165。)上可導(dǎo)，且f(x)在[0,+165。)嚴格單調(diào)遞增，故f(x)f(0)=0, x0.(7分).即x2ln(1+x)x,x0.(8分)：設(shè)a0+na1a2a++L+n=0，證明函數(shù)f（x）=a0+a1x+L+anx在（0，1）內(nèi)至23n+1少有一個零點。（6分）證明：法一利用定積分：假設(shè)函數(shù)f（x）=a0+a1x+L+anxn在（0，1）上沒有零點則因f（x）在[0，1]上連續(xù)，姑f（x）恒為正或負————（1分）從而由定積分性質(zhì)得：242。f(x)dx=[a0x+1a12a23ax+x+L+nxn+1]023n+1=a0+a1a2a++L+n 23n+1————（4分）為正或為負，這與假設(shè)矛盾。所以函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個零點?！?分）法二利用羅爾定理設(shè)=a0F（x）=a0x+a12a23ax+x+L+nxn+123n+1，則F39。(x)=f（x）+a1x+L+anxn——（2分）顯然F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0故由羅爾定理知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點x，使F39。(x)即=0———（3分）f(x)=0。因此，函數(shù)f（x）在（0，1）上
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1