05數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義(編輯修改稿)
2025-01-13 02:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 量子力學(xué)對數(shù)學(xué)造成極大的沖擊．廣義相對論使微分幾何學(xué)“言之有物”，黎曼幾何不再是抽象的紙上談兵．量子場論從一開始就讓數(shù)學(xué)家迷惑不已，它在數(shù)學(xué)上作用仿如魔術(shù)．例如 Dirac 方程在幾何上的應(yīng)用使人難以捉摸，然而它又這么強而有力地影響著幾何的發(fā)展．超對稱是最近二十年物理學(xué)家發(fā)展出來的觀念，無論在實驗或理論上都頗為詭秘，但借著超弦理論的幫助，數(shù)學(xué)家竟能解決了百多年來懸而未決的難題．超弦理論 在數(shù)學(xué)上的真實性是無可置疑的，除非造化弄人，它在物理上終會占一席位． 上世紀末數(shù)學(xué)公理化運動使數(shù)學(xué)的嚴格性 堅如磐石 ，數(shù)學(xué)家便以為工具已備，以后工作將無往而不利．本世紀初 Hilbert 便以為任何數(shù)學(xué)都能用一套完整的公理推導(dǎo)出所有的命題．但好景不常， Godel 在 1931 年發(fā)表了著名的論文“「數(shù)學(xué)原理」中的形式上不可斷定的命題及有關(guān)系統(tǒng) I”．證明了包含著通常邏輯和數(shù)論的一個系統(tǒng)的無矛盾性是不能確立的．這表示 Hilbert 的想法并非是全面的，也表示科學(xué)不可能是萬能的．然而由自然界產(chǎn)生的問題，我們還是相信Hilbert 的想法是基本正確的． 數(shù)學(xué)家因其品稟各異，大致可分為下列三種： (一 )創(chuàng)造理論的數(shù)學(xué)家．這些數(shù)學(xué)家工作的模式，又可粗分為七類． ●從蕓蕓現(xiàn)象中窺見共性．從而提煉出一套理論，能系統(tǒng)地解釋很多類似的問題．一個明顯的例子便是上世紀末 Lie 在觀察到數(shù)學(xué)和物理中出現(xiàn)大量的對稱后，便創(chuàng)造出有關(guān)微分方程的連續(xù)變換群論．李群已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念． ●把現(xiàn)存理論推廣或移植到其它結(jié)構(gòu)上．例如將微積分由有限維空間推廣到無限維空間，將微積分用到曲面而得到連絡(luò)理論等便是．當(dāng) Ricci,Christofel等 幾何學(xué)家在曲面上研究與座標(biāo)的選取無關(guān)的連絡(luò)理論時，他們很難 想象 到它在數(shù)十年后的 YangMills 場論中的重要性． ●用比較方法尋求不同學(xué)科的共 通 處而發(fā)展新的成果．例如 ， Weil 比較整數(shù)方程和代數(shù)幾何而發(fā)展算數(shù)幾何 ， 三十年前 Langlands 結(jié)合群表示論和自守形式而提出“ Langlands 綱領(lǐng)”，將可以交換的領(lǐng)域理論推廣到不可交換的領(lǐng)域去． ●為解
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