05數學的內容、方法和意義(完整版)
【正文】 釋新的數學現象而發(fā)展理論．例如： Gauss 發(fā)現了曲面的曲率是內蘊（即僅與其第一基本形式有關）之后， Riemann 便由此創(chuàng)造了以他為名的幾何學，成就了近百年 來的幾何的發(fā)展； 發(fā)現了在纖維叢上示性類的不變性后， Pontryagin 和陳省身便將之推廣到更一般的情況，陳示性類在今日已成為拓撲和代數幾何中最基本的不變量． ●為解決重要問題而發(fā)展理論．例如 為解決一般黎曼流形等距嵌入歐氏空間而發(fā)展的隱函數定理，日后自成學科，在微分方程中用處很大．而 用 h協邊理論解決了五維或以上的 Poincare 猜想后，此理論成為微分拓撲的最重要工具． ●新的定理證明后，需要建立更深入的理論．如 AtiyahSinger 指標定理，Donaldson 理論等提出后，都有許多不同的證明．這些證明又引起重要的工作． ●在研究對象上賦予新的結構． Kahler 在研究復流形時引入了后來以他為名的尺度；近年 Thurston 在研究三維流形時，也引進了“幾何化”的概念．一般而言，引進新的結構使廣泛的概念得到有意義的研究方向．有時結構之上還要再加限制，如 Kahler 流形上我們要集中精神考慮 KahlerEinstein 尺度，這樣研究才富有成果． （二）從現象中找尋規(guī)律的數學家．這些數學家或從事數據實驗，或在自然和社會現象中發(fā)掘值得研究的問題，憑著經驗把其中 精要抽出來，作有意義的猜測．如 Gauss 檢視過大量質數后，提出了質數在整數中分布的定律； Pascal 和Fermat 關于賭博中賠率的書信，為現代概率論奠下基石．五十年代期貨市場剛剛興起， Black 和 Scholes 便提出了期權定價的方程，隨即廣泛地應用于交易上． Scholes 亦因此而于去年獲得諾貝爾的經濟學獎．這類的例子還有很多，不勝枚舉． 話說回來，要作有意義的猜測并非易事，必須對面對的現象有充分的了解．以紅樓夢為例，只要看了前面六七十回，就可以憑 想象 猜測后面大致如何．但如果我們對其中的詩詞不大了解，則不 能明白它的真義 ， 也無從得到有意義的猜測． （三）解決難題的數學家．所有數學理論必須能導致某些重要問題的解
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