抽屜原理范文合集(編輯修改稿)
2024-10-28 13:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。例11 設(shè)有428的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長方形。證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格，便是一個(gè)長方形的四個(gè)角，這個(gè)長方形就是一個(gè)四角同是紅色的長方形。（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的37個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。我們先考慮這個(gè)37的長方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長方形的四個(gè)角，這個(gè)長方形四角同是藍(lán)色。（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長方形?？傊瑢?duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長方形。例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學(xué)生最多有多少人？解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對(duì)第一題的答案只有兩種。對(duì)于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對(duì)于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對(duì)于這3人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?，所求的最多人數(shù)不超過9人。另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問題的答案互不相同。所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績相同?！闭?qǐng)問王老師說得對(duì)嗎？為什么？，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)/ 7乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？，2，…，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。7的方格表中，有11個(gè)白格，證明（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。，每次會(huì)議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開兩次或更多的會(huì)議。問：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作。總共有8個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場。為了保證生產(chǎn)，要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。練習(xí)13。解：因?yàn)?93=3（10086+1）+1，即46=315+1，也就是說，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，493=46（人）的成績當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績相同。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18247。6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球……3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）3=63（只）。把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下6463=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜160150+1=11（個(gè)）。根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生311+1=34（個(gè)）。：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：/ 7｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41
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