【文章內容簡介】 x ?? ，冪級數(shù) ??1 可能收斂也可能發(fā)散 .我們稱 ? ????? , 為冪級數(shù)的 ??1 收斂區(qū)間 . 第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開 一、函數(shù)的泰勒展開 式 定義 ??71 若函數(shù) ??xf 在點 0x 存在 n 階導數(shù) ,則有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 002021039。0 !!2!1 ???????? ?? ?? ?nxxo 0?? ??2 這里 ? ?? ?nxxo 0? 為 佩亞諾型余項 ,稱 ??2 為 ??xf 在點 0x 的泰勒公式 . 當 00?x 時 ,??2 式變成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 239。 ????? ???nxo? ,稱此式為(帶有佩亞諾余項的 )麥克勞林公式 . 定義 ??72 若函數(shù) ??xf 在點 0x 的某領域內為存在直至 1?n 階 的連續(xù)導數(shù) ,則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 002021039。0 !!2!1 ???????? ???xRn? ??3 這里 ??xRn 為拉格朗日余項 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?101!1 ?? ??? nnn xxnfxR ?,其中 ? 在 x 與 0x 之間 ,稱 ??3 為 ??xf 在點 0x 的泰勒公式 . 當 00?x 時 ,(3)式變成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 239。 ????? ???xRn? ,稱此式為(帶有拉格朗日余項的 )麥克勞林公式 . 貴陽學院畢業(yè)論文 6 二、常見 函數(shù)的麥克勞林展開式 1. ? ?nnx xonxxxe ?????? !!2!11 2 ?。 2. ? ? ? ? ? ?12123!121!3s i n ?? ??????? nnn xonxxxx ?。 3. ? ? ? ? ? ?nnn xonxxx 222!21!21c os ?????? ?。 4. ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxxx ???????? ? 132 1321ln ?。 5. ? ? ? ?nnn xoxxxxx ????????? 111 1 32 ?. 貴陽學院畢業(yè)論文 7 第三章 冪級數(shù)的應用 第一節(jié) 在近似計算中的應用 ??1 當 ??xf 的原函數(shù)不能用初等函數(shù) 表示 出來 ,計算 ??xf 的定積分就遇到了困難 .現(xiàn)在 ,我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項的辦法近似計算這些定積分的值 .具體計算時 ,要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù) ,且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域內 ,然后利用冪級數(shù)的逐項積分性質來計算定積分的值 . 例 ??2 計算定積分 dxx? ?0 41 1的近似值 ，要求誤差不超過 . 解： ? ?? ?dxxxxxx nn?? ????????? 0 412840 4 111 1 ?? ?????????1395 211312191215121, 上式右端為一交錯級數(shù) ,有 41343 ?????? ur， 故取前 3 項作為定積分的值 ,并在計算時取五位小數(shù) ,可得 1 4 ???????? dxx. 例 ??3 計算積分 dxxx?10sin的近似值，精確到 410? . 解 :? ? ? ? ? ?? ????????? !121!7!5!31s i n2642nxxxxx xnn, ? dxxx?10sin? ?? ?? ? ?? ??? ????????? !1212 1!77 1!55 1!33 11 nn n, 因為第四項的絕對值 41030001!77 1 ???? , 取前三項作為定積分的近似值，得 !55 1!33 11s i n10 ??????? dxx x. 第二節(jié) 在不等式證明中的應用 在一些不等式的證明中，用初等數(shù)學方法往往很難證明，但是利用冪級數(shù)展開式能巧妙地將問題化難為易 . 例 證明當 0?x 時， ? ?xxx co s2sin3 ?? . 證 明 : 由三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式易知 貴陽學院畢業(yè)論文 8 !53!23!5!33s i n35353 xxxxxxx ??????????? ??? ， 0?x ? ? ????????? ?????? xxxxxx !6!4!212c os2 642 !6!4!23 753 xxxx ??? ， 0?x 要 !53!6!4 575 xxx ?? ，即 2!61!53!41 x?? , 則 12!6!52!6!53!412 ???????????????? ??x, 所以 ,當 120 ??x 時，不等式成立 . 又 xx sincos2 ?? , ? ? xx s in912c o s2 ?? , ? ? xcocx s in3122 ?? ， 所以 ,當 12?x 時 ,不等式成立 . 綜上所證，當 0?x 時 ,不等式成立 . 例 證明不等式 222 xxx eee ?? ? ， ? ????? ,x . 證明 : ∵ ?? ??????? nx xnxxxe !1!31!211 32 ???? 0 !nnnx ? ?????? ,x . ? ? ?? ????????? !1!3!21 32 xxxxxe nnx ? ?!10 nxnnn??? ?? ? ?????? ,x . ∴ ? ????? ??02!22 nnxxnxee， ? ????? 022!!2222nnxnxe， 由于 ? ? ? ?!!2!222nxnxnn ? ， 貴陽學院畢業(yè)論文 9 所以就可以得到 222 xxx eee ?? ? . 第三節(jié) 在微分方程中的應用 有些微分方程的解不能用初等函數(shù)或積分來表示 ,此時常常用冪級數(shù)求出它的解 .??5 如果所求方程 ? ?yxfdxdy ,? ??4 滿足初始條件 00 yy xx ??的特解 ,其中函數(shù) ??xf 是 ? ?0xx? 、 ? ?0yy? 的多項式 ,那么可以設所求特解可展開為 0xx? 的冪級數(shù) : ? ? ? ? ? ? ?? ?????????? nn xxaxxaxxaxayy 030320210 , ??5 其中 ?? , 21 naaa 是待定的系數(shù) .把 ??5 帶入 ??4 , 便得一個恒等式 ,比較所得恒等式兩端0xx? 的同次冪的系數(shù) ,就可定出常數(shù) ?? , 21 naaa ,以這些常數(shù)為系數(shù)的級數(shù) ??5 在其收斂區(qū)間內就是方程 ??4 滿足初始條件 00 yy xx ??的特解 . ??6 如果方程 ? ? ? ? 039。 ??? yxQyxPy 中的 ??xP 與 ??xQ 可在 ? ?RR?? , 內展成 x 的冪級數(shù) ,那么在 ? ?RR?? , 內方程 ? ? ? ? 039。 ??? yxQyxPy 必