【文章內(nèi)容簡介】 l ?? ? ? ? ?在 上 可 測 且. () 重要的不等式 Minkowski 不等式： 如果 ? ?,1pf g L p? ? ? ?則p p pL L Lf g f g? ? ?； H..O lder 不等式： 設(shè) 111 , . 1pppp?? ? ? ? ?? ，若 ,ppf L g L ???則 ,f g L?? 且有fg f gL p p?? ? ? ? ? ? ppfg dx f g ?? ?? ??； Young 不等式 1： 設(shè) 1 , ,pqr? ?? 且滿足 1 1 11p q r? ? ?．若 ? ?pnf L R? ? ?qng L R? ，則有 fg? 在 nR 上幾乎處處存在，且 f g f gr p q?? ； Young 不等式 2： 110 , 0. 1 , 1. 1a b p qpq? ? ? ? ? ?，則有 pqababpq??； 帶 ? 的 Young 不等式： 110 , 0. 0 1 , 1. 1a b p qpq?? ? ? ? ? ? ?且，則q qpqppqpaba b a bpq?? ??? ?? ? ? ?．特別地，當(dāng) 2pq??時，上式變?yōu)?2 4bab a? ???（帶 ? 的 Cauchy 不等式） 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 6 Gronwall 不等式（積分形式） （ 1） 設(shè) ??t? 是 [0,T]上的非負可積函數(shù)， ? ?0,tT?? ,? ?? t CdssCt 0 21 )()( ?? 對某個 12,0CC? 成立，則 ? ? ? ? ? ?1211 0 ,Ctt C C te t T? ? ? ?； （ 2）如果 ? ? ? ?1 0tt C s ds??? ?， ? ?0,tT?? ， 則 ?? 0t? ? . Gronwall 不等式（微分形式） ()?? 是非負的，且為絕對連續(xù)函數(shù)，在 ? ?0,T 的區(qū)間上，且對任意情況下的 t 滿足不等式 ( ) ( ) ( ) ( )t p t t q t??? ??， 在此 ()pt 和 ()qt 是非負的，且為可積函數(shù)，在 ? ?0,T 的區(qū)間上，則 t0 t() 0( ) ( 0) + ( ) 0p s dst e q s ds t T??? ??? ? ? ?????? ， 特殊情況下，在 ? ?0,T 的區(qū)間上符合條件 ? ?( 0) =0 0 ,p t T? ? ?? ??， ，則恒有 () 0t? ? . 引理 引理 1（ Sobolev 嵌入定理） 設(shè) ? 為 nR 中的有界區(qū)域，其邊界 ?? 是光滑的，如果 ? ?, ,kpu W kp n? ? ?，那么 （ i） ? ? ? ?, ,k p q npW L q n k p? ? ? ? 并有 ? ?,0q k pLWu c u? ?， 其中 0c 為常數(shù)． （ ii） ? ? ? ?10 2, 2q nH L q n? ? ? ?， 并有 ? ? 10q sL U Hu c u??， 其中 sc? 為常數(shù)． 引理 2（ Aubin 引理） 設(shè) 01,B B B 是三個 Banach 空間 ，其中 01,BB是自反一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 7 的，且有連續(xù)的嵌入關(guān)系 01B B B ， 0B 到 B 的嵌入映射是緊的011,pp? ?? ．記 ? ? ? ? ? ?? ?0 10 1 0 1 0 10 。 , 。 , | 0 , 。 , 0 , 。P PW W T p p B B v v L T B v L T B?? ? ? ?， ? ? ? ?? ?0 101122 20 , 。 0 , 。 ,P PW L T B L T Bv v v v W?? ? ?． 則 W 緊嵌入 ? ?0 0, 。pL T B . 引理 3 設(shè) ,XY是 Hilbert空間或 Banach 空間， XY??和 是 XY和 的對偶空間， ? ?0 , 。nu u L T X???? ? ?在內(nèi)， ? ?0 , 。n L T Y???? ?? ?在內(nèi)， 則在? ?0, 。L T Y? ?中=u? ?． 引理４（ Ｇ reen 公式） ? ? ??????? ??n nR R vdxunvuvdxu． 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 8 4 主要結(jié)論的證明 解的整體存在性 令 ? ?10H? 為? ?k=1kG?的一個 完備正交基，且kG是一個特征函數(shù)，其具備負Laplace 含有帶齊次 Dirichlet 邊界條件，即： = , ,k k kG G x?? ??,=0,???, 經(jīng)過規(guī)范化后，存在22=1kG，假設(shè) m是任意正整數(shù)，1( ) ( )mm km kku t O t G???, 并且記 mu? 表示 mu 對 t 求一階導(dǎo) ,u??表示 mu 對 t 求二階導(dǎo) . 再由（ ）兩邊同時乘以 kG ， 知 ??mut滿足： ? ? 0( , ) , + ( ) ( ( ) , ) ( ) ( , )tm m k m k m k m m ku u G u G g t u G d a x u u G??? ?? ? ?? ? ? ? ??( , ) 0m m kb u u G???. 且存在有： ? ? ? ?,u u u u? ? ? ? ? ， 則以上化簡成： ? ? 0( , ) + , ( ) ( ( ) , ) ( ) ( , )tm m k m k m k m m ku u G u G g t u G d a x u u G? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ( , ) 0m m kb u u G?, ? ? ? ?010 , 0m m m mu u u u???, 其中 1, ,km? ， ? ? ? ?0 0 1 111, , ,mmm k k m k kkku u G G u u G G??????. 當(dāng) m?? 時，在 ? ?10H? 中，0 0 1 1,u u u u??. 因為假設(shè)中() m m ka x G dx?? ???是一個有意義的非線性項 . 根據(jù)標準的常微分方程理論，我們可知存在唯一的解在區(qū)間? ?0,mt上，其中 mt大于零 .則求解方程，并由第一估計得，對 0T? ，這個近似解可以延拓到 ? ?0,T 上 . 現(xiàn)在驗證估計一 . 方程兩邊分別乘以()kmOt?，并且 關(guān)于 k 求和，得到： 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 9 ? ? 01 1 1( ,G ) ( ) + , ( ) ( ) ( ( ) , )m m mtm m k k m m k k m m kk k ku u O t u G O t g t u G?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? 11( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0mmk m m m k k m m m k k mkkO t d a x u u G O t b u u G O t? ???? ? ? ? ?? ? ???. 可化為： 011( , G ( ) ) + , ( ) ( ) ( ( ) ,mm tm m k k m m k k m mkku u O t u G O t g t u?????? ?? ? ?? ? ? ? ??????? ? 1 1 1( ) ) ( ) ( , ( ) ) ( , ( ) ) 0m m mk k m m m k k m m t k k mk k kG O t d a x u u G O t b u u G O t? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?. 繼而得： +2 222+21 1 1()+2 2 2m m md u u udt? ????? ??? ? ? ? ? +20 +2( ) ( ( ) , + ( ) =0t m m mg t u u d a x u ????? ? ? ??. 通過計算得： 0( ) ( ( ) , )t mmg t u u d?? ? ? ?? 00( ) ( ( ) ) ( )ttm m m m mg t u u u dx d g t u u dx d?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2211( ) ( ) ( )22 m m mddg t u u dx d g t u dx ddt dt??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2200( ) ( ) ( ) ( )ttm m m md g t u u dx d g t u u dx ddt ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 22( ) ( )ddg t u dx d g t u dxdt dt? ? ? ? ?? ? ? ? 2201 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )2 2 2 2tm m m mg u t g u t g k dk u g t udt dt?? ? ? ? ? ? ??. 記作符號：20( ) ( ) ( ) ( ) ( )t mmg u t g t u u t dx d?? ? ? ? ???, 則聯(lián)系上面的計算可得： +2 220+21 1 1 1( ( 1 ( ) ( ) ( ) )+2 2 2 2tm m m md u g k dk u u g u tdt ? ?????? ? ? ? ? ??? +2 22+2 11a ( x) = ( ) ( ) ( )22m m mu g u t g t u????? ? ? ?. 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 10 在（ 0， t)區(qū)間上積分，并且運用假設(shè)條件，該式可化為： +2 220+21 1 1 1( 1 ( ) ) ( ) ( )+2 2 2 2tm m m mu g k dk u u g u t? ???????? ? ? ? ? ??? +210 +2a(x) Pt mu??????, 由于 ? ? ? ?00t g k dk g k dk???? ? ? ? ?00t g k dk g k dk?? ? ? ??? ? ? ? ?11t g k dk g k dk?? ? ?, 又由? ?0 g k dk L?? ? ??, ? ? ? ?001 1 0t g k dk g k dk L?? ? ? ? ???. 因此， 1P 是與100Hu及101Hu有關(guān)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計： +2 222+2 ( ) ( ) Pm m m mu u u g u t? ??? ??? ? ? ? ? ? ?, 在此， 2P 是與100Hu，101Hu及 L 有關(guān)的正常數(shù) . 從而有下列結(jié)果：? ?? ?? ?? ?12001000 ( )0mmu L t H Lu L t H???? ? ? ??? ? ???在 ， ； 中 一 致 有 界在 ， ； 中 一 致 有 界 現(xiàn)在驗證估計二 . 方程兩邊分別乘以()kmOt??，并且關(guān)于 k 求和，得到： ? ? 01 1 1( ,G ) ( ) + , ( ) ( ) ( ( ) , ) ( )m m mtm m k k m m k k m m k k mk k ku u O t u G O t g t u G O t d?? ? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ?? ? ?? 11( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0mmm m k k