【文章內(nèi)容簡介】 階跟蹤微分器： （）12 221((),)x xRsatxvtR???????????其中，TD 濾波器的離散化公式如式（）所示： ()?11222 12()()()(),(),(),)xkxkhxkfstxkxkvkrh???其中：x1 用于跟蹤輸入信號(hào) v，x2 用于跟蹤 v 的二階導(dǎo)數(shù)，r 是決定跟蹤快慢的參數(shù)，r 越大，x1 越能更快地跟蹤信號(hào) v；h 是數(shù)值積分步長。是如下的非線性函數(shù)：其中 跟蹤微分器的數(shù)學(xué)模型的搭建（simulink 下的實(shí)現(xiàn)）在 Matlab 環(huán)境下，可以通過兩種方式來實(shí)現(xiàn)跟蹤微分器的功能：一種是通過編寫 s 函數(shù)，也就是編程的方式來實(shí)現(xiàn)；另外一種就是在 simulink 仿真下，通過各個(gè)功能模塊的搭建來實(shí)現(xiàn)的。在本設(shè)計(jì)中，采用后者。跟蹤微分器的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式()所示，下面即展示利用 simulink 模塊分步實(shí)現(xiàn)跟蹤微分器的各個(gè)功能。對于函數(shù)，其搭建的 simulink 模塊為圖 所示：圖 sat()函數(shù)功能模塊其中 ln1 為輸入，Out1 為輸出，并用了幾個(gè)功能模塊： Abs1 為取絕對值；Sign 為符號(hào)函數(shù)； Divide1 為乘除函數(shù)；Switch 為選擇函數(shù)（當(dāng)輸入值的絕對值大于限值時(shí)上路接通；當(dāng)輸入值的絕對值小于限值是，下路接通） 。所以，設(shè)限值為，當(dāng) 時(shí)， = ；當(dāng) 時(shí)， = ，至此，就可以實(shí)?A(,)sat?()signA?(,)satA?現(xiàn)此 函數(shù)的功能了。(,)sat在此基礎(chǔ)上，就可以實(shí)現(xiàn)公式（）的功能了，如圖 所示：圖 subsystem 子系統(tǒng)模塊 圖中子系統(tǒng) Subsystem1 所封裝的內(nèi)容即圖 所示的內(nèi)容即 函數(shù)。()satSubsystem 的輸入由三部分組成： 、 、 ，其中 ln1 為輸入信號(hào) ；從1x()vt?2xRvt上路接入的信號(hào)為 ；從下路接入的信號(hào)為 。三路信號(hào)的和作為 Subsystem1x2xR的輸入信號(hào)，輸出信號(hào)進(jìn)入乘除器，作為被除數(shù)，除數(shù)為R。乘除器的輸出信號(hào)進(jìn)入一個(gè)積分器就得到了 ，再經(jīng)過一個(gè)積分器就得到信號(hào) 。再把信號(hào) 引出，2 1x2x經(jīng)一個(gè)乘除器與其絕對值相乘，再除以 2R，就可得到 。所以整個(gè) TD 的模型2R就已經(jīng)搭建好了，如圖 所示圖 TD 的實(shí)現(xiàn)把圖 封裝子系統(tǒng)為 Subsystem，如上圖所示，ln1 為輸入端，Out1 和 Out2為輸出端。Out1 端的輸出跟蹤輸入信號(hào)，Out2 端的輸出為輸入的近似微分。 跟蹤微分器的仿真實(shí)現(xiàn)與分析（1）前面已述，微分跟蹤是這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：對于輸入信號(hào) V(t),它將輸出兩個(gè)信號(hào) x1 和 x2，其中 x1 是跟蹤 V(t)，而 ，從而把 x2 作為 V(t)的“近似微2x??分” 。由跟蹤器得到的微分信號(hào)是輸入信號(hào)廣義導(dǎo)數(shù)的一種光滑逼近。給系統(tǒng)加一個(gè)正弦信號(hào)，幅值為 2，頻率為 1 rad/s。輸入正弦函數(shù)圖形如圖 所示： 圖 輸入正弦圖形 輸出 x1 和 x2 分別如圖 和 所示： 圖 x1 輸出圖形圖 x2 輸出圖形分析以上三圖：比較圖 和圖 可以發(fā)現(xiàn)，兩圖基本完全是一致的，說明輸出 x1 能夠較好地跟蹤輸入信號(hào)，觀察圖 ，剛開始有較大的波動(dòng)，隨后穩(wěn)定了，正是圖 的微分信號(hào)，所以，能較好實(shí)現(xiàn)微分器功能。 （2）跟蹤微分器還具有一定的濾波作用，下面我們對其進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在原信號(hào)上加入噪聲 (1)的干擾，其波形如圖 所示： 加噪聲的輸入信號(hào)經(jīng)過 TD 跟蹤微分器后，其輸出波形如圖 所示： 濾波后輸出波形 所以，比較以上兩圖可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過 TD 后，原波形的噪聲明顯減少了很多，并能繼續(xù)跟蹤源信號(hào)，說明 TD 具有很好的濾波功能。 非線性組合 幾種典型的非線性組合選取合理的非線性函數(shù) ,PID 的非線性組合方式有以下幾種： ()fx（1） ?1 111tPiodeeeuKeKt????稱為非線性誤差的 PID 控制律，其結(jié)構(gòu)如圖 所示。非線性組合被控對象?dt()vte1e1e02()ut()yt()f? 圖 非線性誤差 PID 控制規(guī)律結(jié)構(gòu)圖（2） 0()()()tpi deuKfefeKft????稱為非線性 PID 控制律，其結(jié)構(gòu)如圖 所示，其中虛線部分可稱為非線性組合。 ?dt()ff()f線性組合被控對象()vt?0e12e()ut()yte 圖 非線性 PID 控制規(guī)律結(jié)構(gòu)圖 非線性組合的數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn) （） 1(,)()eefalesign?????????????其中 是決定 非線性度的參數(shù),其取值范圍為 0~1； 表征?(,)fale?? ?的線性區(qū)間大小的參數(shù)。(,)fale? 非線性組合的 simulink 搭建及仿真實(shí)現(xiàn)在 simulink 下對非線性函數(shù) fal()的搭建模型如圖 和 所示：圖 非線性系統(tǒng)圖 是封裝子系統(tǒng)后的整體模型，為了研究方便，輸入為斜坡函數(shù)，其子系統(tǒng)封裝內(nèi)容如圖 所示：圖 子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析圖 ：主要有以下幾個(gè)功能模塊：step 為階躍輸入； abs 為取絕對值；Product 為乘法模塊；Divide 為除法模塊；Sign 為符號(hào)函數(shù)模塊；Math Function 為指數(shù)模塊；Switch 為開關(guān)選擇模塊。ln1 為輸入，首先看中路，取絕對值后進(jìn)入Switch 模塊，與 Switch 的限值 δ 比較大小，當(dāng)其大于 δ 時(shí)輸入信號(hào)進(jìn)入上路，小于 δ 時(shí)輸入信號(hào)進(jìn)入下路。對上路分析：輸入信號(hào)進(jìn)入上路后又分成兩路，一路進(jìn)入 Sign 模塊變?yōu)榉?hào)函數(shù)，另一路取絕對值后再進(jìn)入 Math Function 模塊，最后兩路信號(hào)相乘。對下路進(jìn)行分析：首先看 Math Function 模塊，它有兩路輸入：一路是 δ，另一路是1α。此模塊輸出進(jìn)入 Divide 模塊，作為除數(shù)，被除數(shù)輸入。 非線性 PID 控制器2 階T D ?非線性組合2 階T D被控對象1v0e12()ut()yt1y()vt 圖 非線性 PID 控制器結(jié)構(gòu)圖通過合理地選取非線性函數(shù)、利用跟蹤微分器實(shí)現(xiàn)對給定信號(hào)的預(yù)處理和對給定信號(hào)的微分信號(hào)的提取，可以構(gòu)造出如圖 所示的非線性 PID 控制器。非線性 PID 包含兩個(gè)跟蹤微分器（TD） ，一個(gè)對系統(tǒng)的參考輸入 安排理想的過渡()vt過程并提取參考輸入信號(hào)的微分信號(hào)；另一個(gè)跟蹤微分器盡可能地復(fù)原系統(tǒng)輸出及其微分信號(hào)。非線性 PID 算法如下：()yt ()12 221((),)v vRsatvtR?????????? ()12 21((),)y vRsatytR?????????? ()111222022teyvedt??????110022()(,)(,)(,)p i dutKfaleKfaleKfale????????? 適當(dāng)選取非線性組合和跟蹤微分器中的參數(shù)，非線性 PID 控制器對對象不確定性具有極好的適應(yīng)性及對自身參數(shù)具有較強(qiáng)的魯棒性。 、 對非線性函數(shù) fal 的影響及假設(shè)??非線性函數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式 所示， 為誤差大小，即輸入量；(,)fale??e決定 非線性度的參數(shù)，其取值范圍是 0~1； 表征 的線,fl ?(,)fale??性區(qū)間大小的參數(shù)。 對非線性函數(shù) fal 的影響?設(shè)計(jì)如圖 所示的試驗(yàn)系統(tǒng)。各非線性環(huán)節(jié)子系統(tǒng)（Subsystem1 ﹑Subsystem2﹑Subsystem3﹑Subsystem4﹑Subsystem5）中 的取值?分別為 0﹑﹑﹑﹑1。在 = 不變的情況下，給各非線性環(huán)節(jié)加入?初始值為 0，斜率為 1 的斜坡信號(hào)。其輸出響應(yīng)如圖 所示。圖 取值不同時(shí)的試驗(yàn)系統(tǒng)?圖 運(yùn)行結(jié)果的比較運(yùn)行結(jié)果分析：在 保持不變的情況下， 值越小，曲線的非線性程度越大，??非線性效果就越明顯，當(dāng) 為 0 時(shí)，輸出曲線為階躍信號(hào)，隨著 的增大，曲線越??來越接近線性，當(dāng) 為 1 時(shí)，輸出曲線就變?yōu)榫€性函數(shù)了。并且在可以看出在 1s之前，同一時(shí)刻， 值越大，其輸出值越小，所有曲線在 1s 時(shí)刻相交，1s 之后，值越大，其輸出值越大。? 對非線性函數(shù) fal 的影響?設(shè)計(jì)如圖 所示的試驗(yàn)系統(tǒng)。子系統(tǒng) Subsystem1~7 的 取值分別為：?、11202120220， = 不變。給各非線?性環(huán)節(jié)加入初始值為 0，斜率為 3 的斜坡信號(hào)。輸出響應(yīng)如圖 所示。圖 取值不同時(shí)的試驗(yàn)系統(tǒng)?圖 運(yùn)行結(jié)果輸出的比較分析：當(dāng) δ=、 時(shí)輸出曲線基本是重合的，在 100s 的時(shí)候輸出基本可以達(dá)到 17 左右，呈現(xiàn)較明顯地非線性曲線，我們可以從非線性函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式來分析：當(dāng) δ 取值較小的時(shí)候，輸入在很短時(shí)間1(,)()efalesign???????????內(nèi)可實(shí)現(xiàn) ，所以輸出為 = ，呈現(xiàn)如上所示曲線。當(dāng)?,)fale?()signe?δ=120 的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)曲線在 t=40s 的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，此現(xiàn)象不難分析：輸入是斜率為 3 的斜坡信號(hào)，當(dāng)時(shí)間達(dá)到 40s 的時(shí)候，輸入變?yōu)?120，而這一點(diǎn)正好是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這之前 ， = ，在這點(diǎn)之后， ， =e??(,)fale?1??e??(,)fale??所以會(huì)呈現(xiàn)如圖所示曲線。當(dāng) δ=12022 時(shí)，曲線基本呈線性關(guān)系，且其()esign?輸出很小，當(dāng) t=100s 時(shí)，對應(yīng)輸出為 ，因?yàn)?δ 取值較大，所以前段時(shí)間= 。當(dāng) δ=1202200 時(shí)，對應(yīng)的輸出值更小，當(dāng) t=100s 時(shí)，其對應(yīng)(,)fal?1e??輸出為 ，同