【文章內容簡介】 求解方程組可得函數 ),( yxf 的駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii ,因為駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii 不一定都是 ),( yxf 的極值點 ,所以還要對駐點進行判別 ,令 ),(39。39。39。39。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。39。39。39。 iixyxy yxfZB ?? ),(39。39。39。39。 iiyyyy yxfZC ?? .同在圓域內的判別方法一樣 ,將 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應的函數值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 5） 對于二元函數在橢圓域邊界上的最值 ,我們同樣可以用兩種方法來進行討論 .方法一 :拉格朗日乘數法 .令 ],[),1(),(2222 aaxbyaxyxfl ?????? ? ,對它求一階偏導數之后 ,令 ???????????????????,01,02),(,02),(222239。239。39。239。39。byaxlbyyxflaxyxflyyxx??? 解方程組可得到橢圓域邊界上的極值點 ),3,2,1)(,( ??jyxM jjj ,代入函數 ),( yxfZ? 中 ,求得橢圓域邊界上的函數值 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 5 ).,3,2,1)(,( ??? jyxfZ jjj （ 6） 綜合上述得出橢圓域內的函數值（ 4）和橢圓域邊界上的函數值（ 5） ,通過比較所得函數值的大小可得到二元函數 ),( yxf 在橢圓域上的最大值和最小值 . 方法二 :轉換法 .將橢圓方程 ],[,12222 aaxbyax ???? ,變形為2222axbby ??? ,代入到二元函數 ),( yxfZ? 中 ,可得到一個一元函數 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? ,對這個一元函數求極值（即二元函數 ),( yxf 在橢圓域邊界上可能的函數值）得 ).,3,2,1)(,(2222 ????? kaxbbxfZ kkk （ 7） 再求 出 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? 的端點值 )0,(1 afZk ? , )0,(2 afZk ? （ 8） 綜合上述橢圓域內的函數值（ 5）和橢圓域邊界上的函數值（ 7）與（ 8） ,通過比較所得函數值的大小 可得到二元函數在橢圓域上的最大值和最小值 . 例 2 求二元函數 2),( 22 ??? yxyxf 在橢圓區(qū)域 }149|),{( 22 ??? yxyxD 上的最大值和最小值 . 解 由 ????????????}1|),{(,02),(,02),(222239。39。byaxyxyyxfxyxfyx其中 可得 ),( yxf 唯一的駐點 )0,0(p ,再求出 2),(39。39。 ?? yxfA xx , 0),(39。39。 ?? yxfB xy , 2),(39。39。 ??? yxfC yy .因為當駐點為 )0,0(p 時 , 042 ??? ACB ,所以駐點 )0,0(p 不是二元連續(xù)函數 ),( yxf 的極值點 ,也就不是最值點 ,故舍去 .對于二元函數 ),( yxf 在橢圓域邊界上的最值 ,我們可用兩種方法來求解 . 1）拉格朗日乘數法 .設 ]3,3[),149(2 2222 ???????? xyxyxl ?,先對它求一階偏導數 ,再令 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 6 ????????????????????,0149,0212,09222239。39。39。yxlyylxxlyx??? 由方程組可得到橢圓域邊界上可能的最值點有 )2,0(1M , )2,0(2 ?M , )0,3(3M , )0,3(4 ?M .將它們分別代入到二元函數 ),( yxf 中 ,可求得相應的函數值 2)2,0(1 ??f , 2)2,0(2 ???f , 11)0,3(3 ?f , 11)0,3(4 ??f .綜合上述兩種情況得出的函數值有 2? 和 11,通過比較函數值的大小可得到函數),( yxf 在橢圓域邊界上的最大值為 11,最小值為 2? . 2） 轉換法 .將橢圓方程轉化為 ]3,3[,944 22 ???? xxy ,代入到函數 ),( yxf 中 ,可得到一個一元函數 ]3,3[,2913)( 2 ????? xxxfZ ,對它求一階導數可得 xxfZ 926)(39。39。 ?? ,令 0926)(39。 ?? xxf ,求解方程可得一元函數 )(xf 的 極值點 0?x ,代入到函數 )(xf 中 ,得到最值 2)0( ??f .再求得曲線的上下界函數值 11)3( ??f , 11)3( ?f .綜合上述所得橢圓域內的函數值和橢 圓域邊界上的函數值2? 和 11,通過比較所得函數值的大小從而得到函數 ),( yxf 在橢圓域上的最大值為 11,最小值為2? . 二、二元連續(xù)函數在多邊形區(qū)域上的最值 二元連續(xù)函數 ),( yxfZ? 在 n 邊形區(qū)域 D 上的最值問題 ,隨著邊界的復雜程度加大 ,對它的求解難度也在加大 ,但在總體上還是可以分為區(qū)域內和區(qū)域邊界上兩部分進行討論 . 對于 n 邊形區(qū)域內的最值 ,我們對函數 ),( yxfZ? 求一階偏導數之后 ,令 ????? ??? ?? DyxyxfZ yxfZyyxx in t),(,0),( ,0),(39。39。 39。39。 可求得函數在 n 邊形區(qū)域 D 內的駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii ,因為駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii 不一定都是函數的極值點 ,令 ),(39。39。39。39。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。39。39。39。 iixyxy yxfZB ?? , ),(39。39。39。39。 iiyyyy yxfZC ?? ,將滿足條件 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應的函數值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 9） 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 7 n 邊形區(qū)域是由 n 條直線段圍成的封閉區(qū)域 ,其邊界有 n 條直線段構成 ,朗格朗日乘數法就很難求解 ,所 以 我 們 用 轉 換 的 思 想 方 法 求 n 邊 形 區(qū) 域 邊 界 上 的 最 值 問 題 .將 直 線 段 方 程),3,2,1]。,[( nibaxl iii ??? ,分別代入到二元函數 ),( yxfZ? 中 ,通過代換可得到相應的一元函數),2,1]。,[)(( nibaxxf iii ??? ,對它求一階導數可得 ),2,1]。,[)((39。 nibaxxf iii ??? ,令 0)(39。 xfi ,可求得函數 )(xfi 的極值點 ),3,2,1( nixi ?? ,代入到函數 ),2,1]。,[)(( nibaxxf iii ??? 中 ,求得相應的極值（可能的最值）