二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值研究_畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-07-04 15:00 本頁面
【正文】 求解方程組可得函數(shù) ),( yxf 唯一的駐點 )0,0(p ,因為 )0,0(p 不在所屬扇形區(qū)域 D 內(nèi) ,故舍去 . 函數(shù) ),( yxf 在曲邊梯形區(qū)域邊界上的最值 ,我們可采用代換法求解 ,將曲線段方程 1l 變形為]1,3[,2 2 ????? xxy ,代入 ),( yxf 中 ,可得函數(shù) ]1,3[,83216)( 2341 ??????? xxxxxf ,對它求一階導數(shù)有 xxxxf 6664)( 2339。4,3,2,1)(( 1 njiixfZ iij ?? ???? （ 18） 其次 ,求出線段 )4,3,2,1( ?ili 的兩個端點值分別為 ),3,2,11。 ?? ixfi ,可得函數(shù) )4,3,2,1]。 iiyyyy yxfZC ?? ,同前面在圓域內(nèi)的判別方法一樣 ,將 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 17） 第二部分 ,曲邊梯形區(qū)域邊界上的最值 ,曲邊梯形區(qū)域是由兩條平行的直線段和兩條曲線段（或一條直線段和一條曲線段）圍成的封閉區(qū)域 ,其邊界是有直線段和曲線段共同構(gòu)成 .朗格朗日乘數(shù)法楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 11 就很不容易求解 ,所以我們用轉(zhuǎn)換的思想方法求曲邊梯形區(qū)域在邊界上的最值問題 .首先將邊界線方程分別設為 )4,3,2,1( ?ili ,把它們代入到函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,通過代換可以得到相應 的一元函數(shù))4,3,2,1]。 iixyxy yxfZB ?? , ),(39。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。DyxyxfZ yxfZ yy xx 其中 求解方程組可得二元函數(shù)在扇形區(qū)域內(nèi)的駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii ,再令 ),(39。 ??? ,因為駐點 )2,1(1p , )2,1(2 ?p 都滿足 082 ??? ACB ,所以 )2,1(1p , )2,1(2 ?p 都不是函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,即不是最值點 ,故舍去 . 扇形區(qū)域邊界上的最值可采用轉(zhuǎn)換法求解 ,分別令邊界線方程為 ]2,510[,4: 221 ??? xyxl, 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 10 ]510,0[,03:2 ??? xyxl , ]510,0[,03:3 ??? xyxl .把曲線段 1l 的方程邊形為 22 4 xy ?? ,代入到函數(shù) ),( yxf 中可得一元函數(shù) ]2,510[,44)( 31 ???? xxxxf,對 )(1xf 求一階導數(shù)可得43)( 21 ?? xxf ,令 043)( 21 ??? xxf ,求得函數(shù) )(1xf 的極值點 3321?x , 3322 ??x ,因為]2,510[3 322 ???x ,故舍去 ,把 3321?x 代入函數(shù) )(1xf 中 ,可得 9 3164)3 32(1 ??f .再求得)(1xf 的端點函數(shù)值為 2510184)510(1 ??f , 4)2(1 ?f .同理 ,可求得 ]510,0[,03:2 ??? xyxl的極值為 0)0(2 ?f ,端點函數(shù)值為 0)0(2 ?f , 2510184)510(2 ??f. ]510,0[,03:3 ??? xyxl的函數(shù)極值為 0)0(3 ?f ,端點函數(shù)值為 0)0(3 ?f , 2510184)510(3 ??f.綜合上述扇形區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值和扇形區(qū)域邊界上的函數(shù)值可得 ),( yxf 的最大值為 4 ,最小值為 0 . （二）二元連續(xù)函數(shù)在曲邊梯形區(qū)域上的最值 二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 在曲邊梯形區(qū)域 D 上的最值問題 ,我們同樣分兩部分進行討論 . 第一部分 ,曲邊梯形區(qū)域內(nèi)函數(shù)的最值 ,對函數(shù) ),( yxfZ? 求一階偏導數(shù)之后 ,令 ????? ??? ?? ,in t),(,0),( ,0),(39。 ?? yxfA xx , yyxfB xy 2),(39。 解 由 ????? ???? ??? Dyxxyyyxf yxyxfyx in t),(,022),( ,02),(39。,[)(( ??? ibaxxfZ iii , 求得它的最值為 ).,3,2,1。39。39。39。39。39。,3,2,1)((2 nknibfZ iik ?? ??? （ 11） 綜合上述兩種情況得出的函數(shù)值（ 9） ,（ 10）和 (11),通過比較所得函數(shù)值的大小可得到函數(shù) ),( yxf 在 n 邊形區(qū)域上的最大值和最小值 . 例 3 求二元函數(shù) 2212),( yxyxf ??? 在三角形區(qū)域 ?????????????????????.21,033,20,042,10,022xyxxyxxyxD 上的最值 . 解 對函數(shù) ),( yxf 求一階偏導數(shù)之后 ,由 ????? ???? ??? ，Dyxyyxf xyxfyx in t),(,02),( ,02),(39。,[)(( nibaxxf iii ??? 中 ,求得相應的極值（可能的最值） ),3,2,1。,[)(( nibaxxf iii ??? ,對它求一階導數(shù)可得 ),2,1]。39。39。39。 39。39。 ??? yxfC yy .因為當駐點為 )0,0(p 時 , 042 ??? ACB ,所以駐點 )0,0(p 不是二元連續(xù)函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,也就不是最值點 ,故舍去 .對于二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域邊界上的最值 ,我們可用兩種方法來求解 . 1）拉格朗日乘數(shù)法 .設 ]3,3[),149(2 2222 ???????? xyxyxl ?,先對它求一階偏導數(shù) ,再令 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 6 ????????????????????,0149,0212,09222239。 ?? yxfA xx , 0),(39。byaxlbyyxflaxyxflyyxx??? 解方程組可得到橢圓域邊界上的極值點 ),3,2,1)(,( ??jyxM jjj ,代入函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,求得橢圓域邊界上的函數(shù)值 楚雄師范學院畢業(yè)論文（設計） 5 ).,3,2,1)(,( ??? jyxfZ jjj （ 6） 綜合上述得出橢圓域內(nèi)的函數(shù)值（ 4）和橢圓域邊界上的函數(shù)值（ 5） ,通過比較所得函數(shù)值的大小可得到二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域上的最大值和最小值 . 方法二 :轉(zhuǎn)換法 .將橢圓方程 ],[,12222 aaxbyax ???? ,變形為2222axbby ??? ,代入到二元函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,可得到一個一元函數(shù) ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? ,對這個一元函數(shù)求極值（即二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域邊界上可能的函數(shù)值）得 ).,3,2,1)(,(2222 ????? kaxbbxfZ kkk （ 7） 再求 出 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? 的端點值 )0,(1 afZk ? , )0,(2 afZk ? （ 8） 綜合
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