【正文】 39。39。39。rbyaxyxyxfZ yxfZ yy xx 其中 求出函數(shù)的駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii ,因為 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii 不一定都是二元函數(shù)的極值點 ,所以還要對駐點進行判別 ,令 ),(39。39。39。39。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。39。39。39。 iixyxy yxfZB ?? , ),(39。39。39。39。 iiyyyy yxfZC ?? .當(dāng)02 ??ACB 時 , ),3,2,1)(,( ??iyxp ii 是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,所以它可能是最值點 。當(dāng)02 ??ACB 時 , ),3,2,1)(,( ??iyxp ii 不能判定是否是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,它也可能是最值點 。當(dāng) 02 ??ACB 時 , ),3,2,1)(,( ??iyxp ii 不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,也就不可能是最值點 ]1716[],10[. ? 再將滿足條件的 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應(yīng)的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 1） 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 2 求函數(shù) ),( yxf 在圓域邊界上的函數(shù)值 ,我們可用兩種方法來求解 .第一種方法是拉格朗日乘數(shù)法 ,引入拉格朗日函數(shù) ],[],)()[(),( 222 raraxrbyaxyxfl ????????? ? ,對函數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)之后 ,令 ???????????????????,0)()(,022),(,022),(22239。39。39。39。39。rbyaxlbyyxflaxyxflyyxx????? 求解方程組可得到圓域邊界上的極值點 ),3,2,1)(,( ??jyxM jjj ,代入到 ),( yxfZ? 中求得圓域邊界上的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? jyxfZ jjj （ 2） 綜合圓域內(nèi)的函數(shù)值（ 1）和圓域邊界上的函數(shù)值 (2),通過比較函數(shù)值的大小找出二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最大值和最小值 . 求圓周曲線上可能出現(xiàn)的最值點 ,我們還可以用轉(zhuǎn)換法求解 ,將圓方程 222 )()( rbyax ????變形為 baxry ????? 22 )( ,把它代入到 ),( yxfZ? 中 ,可以得到相應(yīng)的一個一元函數(shù)],[),)(,( 22 raraxbaxrxfZ ???????? ,通過求這個一元函數(shù)的極值點，從而可得到函數(shù)),( yxfZ? 在圓域邊界上可能出現(xiàn)的最值點 ,進而求得相應(yīng)的函數(shù)值 ),3,2,1)()(,( 22 ??????? kbaxrxfZ kkk （ 3） 再求 ],[),)(,( 22 raraxbaxrxfZ ???????? 的端點值 ),(1 brafZk ??? , ),(2 brafZk ?? . （ 4） 最后通過比較所得函數(shù)值（ 1） ,（ 3）和（ 4）的大小找出二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最大值和最小值 . 例 1 求二元函數(shù) 62),( 2222 ???? yxyxyxf 在有界閉區(qū)域 }4|),{( 22 ??? yxyxD 上的最值 . 解 由 ????? ????? ??? },4|),{(,024),( ,022),(22239。239。yxyxyxyyxf xyxyxf yx 其中 知二元函數(shù) ),( yxf 的駐點為 )1,2(1p , )1,2(2 ?p , )1,2(3p , )1,2(4 ??p , )0,0(5p .再進一步楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 3 求出 239。39。 22),( yyxfA xx ??? , xyyxfB xy 4),(39。39。 ??? , 239。39。 24),( xyxfC yy ??? .當(dāng)駐點為 )1,2(1p時 , 0242 ??? ACB ,所以駐點 )1,2(1p 不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點（即不是最值點） ,故舍去 .同理 ,當(dāng)駐點為 )1,2(2 ?p , )1,2(3 ?p , )1,2(4 ??p 時 ,都分別求得 0242 ??? ACB ,所以駐點)1,2(2 ?p , )1,2(3 ?p , )1,2(4 ??p 都不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點（即不是最值點） ,故全部舍去 .當(dāng)駐點為 )0,0(5p 時 , 082 ???? ACB ,所以駐點 )0,0(5p 是函數(shù)的極值點 ,代入 ),( yxf 可得函數(shù)值 6)0,0( ?f .對于二元函數(shù) ),( yxf 在圓周曲線 422 ??yx 上的最值 ,我們分別用兩種方法討論 . 1) 拉格朗日乘數(shù)法 .設(shè) ]2,2[),4(62 222222 ????????? xyxyxyxl ?,對它求一階偏數(shù)之后 ,令 ?????????????????,04,0224,02222239。239。239。yxlyyxylxxyxlyx??? 求解上述方程組可得到圓域邊界上的極值點有 )23,25(1M, )23,25(2 ?M, )23,25(3 ?M, )23,25(4 ??M ,將它們分別代入到二元函數(shù) ),( yxf 中 ,可求得圓域邊界上可能的最值有431)23,25(1 ?f , 431)23,25(2 ??f , 431)23,25(3 ??f , 431)23,25(4 ???f . 又由]2,2[??x 可知 )2,0(5M , )2,0(6 ?M , )0,2(7M , )0,2(8 ?M 也是可能的最值點 ,分別代入到 ),( yxf中求得可能的最值有 14)2,0(5 ?f , 14)2,0(6 ??f , 10)0,2(7 ?f , 10)0,2(8 ??f .綜合上述圓域內(nèi)和圓域邊界上所得出的最值有 6 ,431 ,10和 14 ,通過比較最值的大小可得到二元連續(xù)函數(shù) ),( yxf在圓域上的最大值為 14,最小值為 6 . 2） 轉(zhuǎn)換 法 .將圓方程轉(zhuǎn)化為 ]2,2[,4 22 ???? xxy ,把它代入到二元函數(shù) ),( yxf 中 ,得到一個一元函數(shù) 145)( 24 ??? xxxf ,對它求一階導(dǎo)數(shù)可得 xxxf 104)( 339。 ?? ,令 0104)( 339。 ??? xxxf ,求解方程 可得一元函數(shù) )(xf 的極值點有 01?x , 252?x和 253 ??x,將它們分別代入到一元函數(shù)楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 4 )(xf 中 ,求得圓域邊界上的函數(shù)值為 14)0( ?f , 431)25( ?f , 431)25( ??f .再求得曲線端點處的函數(shù)值為 10)2( ??f , 10)2( ?f .綜合上述圓域內(nèi)的函數(shù)值和圓域邊界上的函數(shù)值有 6 ,14,431和 10,通過比較函數(shù)值的大小可以得到二元函數(shù) ),( yxf 在圓域上的最大值為 14,最小值為 6 . （二）二元連續(xù)函數(shù)在橢圓域上的最值 求二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 在橢圓域 }1|),{(2222 ??? byaxyxD 上的最值 ,我們可以分為橢圓域內(nèi)的函數(shù)最值和橢圓域邊界上的函數(shù)最值兩部分進行求解 . 首先對二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 求一階偏導(dǎo)數(shù) ,令 ???????????}1|),({,0),(,0),(222239。39。39。39。byaxyxyxfZyxfZyyxx其中