20xx年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù)解答題專題練習(xí)(編輯修改稿)
2024-10-17 20:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)D、E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2，同理可得直線DE的表達(dá)式為：y＝x﹣1…①；（2）如圖1，連接BF，過點(diǎn)P作PH∥y軸交BF于點(diǎn)H，將點(diǎn)FB代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線BF的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+2），則點(diǎn)H（x，﹣x+1），S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝41+PHBO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故點(diǎn)P（2，3）或（，）；（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P（2，3），過點(diǎn)M作A′M∥AN，過作點(diǎn)A′直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，∵M(jìn)N＝2，相當(dāng)于向上、向右分別平移2個(gè)單位，故點(diǎn)A′（1，2），A′A″⊥DE，則直線A′A″過點(diǎn)A′，則其表達(dá)式為：y＝﹣x+3…②，聯(lián)立①②得x＝2，則A′A″中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)A″（3，0），同理可得：直線AP″的表達(dá)式為：y＝﹣3x+9…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，即點(diǎn)M（，），點(diǎn)M沿BD向下平移2個(gè)單位得：N（，﹣）．如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（2，3）兩點(diǎn)．（1）求拋物線C函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y＝的距離？若存在，求出定點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由題意把點(diǎn)（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得a＝﹣1，c＝3，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(diǎn)（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，解得，k＝1，b＝1，∴yAB＝x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，﹣a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a＝時(shí)，MK有最大長(zhǎng)度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK?AH+MK?（xB﹣xH）＝MK?（xB﹣xA）＝3＝，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大＝2S△AMB最大＝2＝，M（，）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，∴拋物線與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y＝的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y＝的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由題意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面積為 36?。划?dāng)雙曲線y＝（k≠0）與正方形ABCD有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是： 0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；（2）已知拋物線L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）頂點(diǎn)P在邊BC上，與邊AB，DC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B的雙曲線y＝（k≠0）與邊DC交于點(diǎn)N．①點(diǎn)Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線L的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q隨m運(yùn)動(dòng)，分別切運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置和最低位置時(shí)的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N下方，AE＝NF，點(diǎn)P不與B，C兩點(diǎn)重合時(shí)，求﹣的值；③求證：拋物線L與直線x＝1的交點(diǎn)M始終位于x軸下方．【解答】解：（1）由點(diǎn)A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的邊長(zhǎng)為6，∴正方形面積為36；有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案為36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由題意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，當(dāng)m＝﹣1，yQ最大＝4，在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（﹣1，4），當(dāng)m＜﹣1時(shí)，yQ隨m的增大而增大，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，yQ最?。?，當(dāng)m＞﹣1時(shí)，yQ隨m的增大而減小，當(dāng)m＝4時(shí)，yQ最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴yQ最小＝﹣21，點(diǎn)Q在最低位置時(shí)的坐標(biāo)（4，﹣21），∴在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（﹣1，4），最低位置時(shí)的坐標(biāo)為（4，﹣21）；②當(dāng)雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣2）時(shí)，k＝4，∴N（4，1），∵頂點(diǎn)P（m，n）在邊BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵拋物線y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）與邊AB、DC分別交于點(diǎn)E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F(xiàn)（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，點(diǎn)F在點(diǎn)N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由題意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴yM＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即yM＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴對(duì)應(yīng)每一個(gè)a（a＞0）值，當(dāng)m＝1時(shí)，yM最?。僵?，當(dāng)m＝﹣2或4時(shí)，yM最大＝9a﹣2，當(dāng)m＝4時(shí)，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵點(diǎn)E在邊AB上，且此時(shí)不與B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴yM≤﹣，同理m＝﹣2時(shí)，y＝y(tǒng)＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F(xiàn)（4，36a﹣2），∵點(diǎn)F在邊CD上，且此時(shí)不與C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴yM≤﹣，綜上所述，拋物線L與直線x＝1的交點(diǎn)M始終位于x軸下方；如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（
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