【文章內容簡介】 s in0lim l i m021 所以 xx x1)(cos0lim??=e21? =e1 評析： 此題用恒等變形求解，其實質仍是取對的思想，但是它避免了引入未知數(shù)從而簡化解題過程。 例 14：求 W= xxx exc os1 12 )1(0lim ?? ? 解： 這是 1? 型未定式 因為xexxx cos1)1ln(0lim 2??? =xexxx cos10lim2?? = xxx exx02 limc os10lim ?? ? =2 所以 W=2e 例 15： :求 W=xx xc sin)tan(0lim ?? 分析：這是一個 ?0 型未定式極限，其求法與 1? 類似 解：xx xc sin)tan(0lim ??=xxx e cotlnsin0lim?? =xxe xsin1cotlnlim0? =0e =1 第 3章 使 用羅必達法則解題應注意的問題 注意定理的使用條件 在前一章羅必達法則的定理分析中我已對定理的條件進行了初步分析，下面我將結合具體例題從正反兩個方面不同角度來分析在用羅必達法則求極限時應注意定理條件從而加深讀者的印像。 只有 ??和00 不定型極限才能直接使用羅必達法則 請參考第九頁 在此不再重復論述。 在每次使用羅必達法則之前，必須檢查所求極限是否屬于 ??或00 不定型。如果不是就不能再使用。 例 16： 求 xxxx 2cos1 sinlim0 ?? 分析：此式為 00 型未定式，符合羅必達法則 解：原式 = x xxxx 2sin2 c ossinlim0 ?? = = = = 這個結果是 錯誤 的 。此極限雖然屬于 00 型，但問題在于，在繼續(xù)使用羅必達法則時沒有堅持每次使用羅必達法則之前都要進行檢查。 事實上，在連續(xù)使用兩次羅必達法則后，原極限已經(jīng)轉化成確定型了，因此正確解法是： （ 00 型）（用羅氏法則） = （ 00 型） = （確定型） =21 例 17： 問 a,b 取何值時， }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???=1成立（ a0) 解（ 1） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???=1? 0（ **） 而xaxx ??20lim=0，由此得到 )cos(lim0 xbx ??=0，于是 b=1，所以 xxaxx cos1lim20 ???= )1c o s1(lim20 xaxxx ???? =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a2=1即 a=4 根據(jù)以上從左到右的推導，問題出在（ **）式，即 xxaxx cos1lim20 ???的存在性并沒有論證。根據(jù)羅比達法則的條件（ 2），只有當 xxaxx cos1lim20 ???存在時，（ **）式才成立，這個問題往往被人們忽視，因此后面的兩步就失去了根基，所以解法（ 1）是 錯誤的。 解（ 2） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???= 10?b 如果 b? 1,則上式等于 0，與已知條件矛盾；如果 b=1， xb xaxx coslim20 ??? 是 00 型未定式，用羅必達法則求解，即 }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???（ 00 ） = )1c o s1(lim20 xaxxx ???? = =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a2=1即 a=4 評析： 解法（ 2）求出 xb xaxx coslim20 ??? = 10?b 后，討論了其存在 性，排除 b? 1的情形后，得出 b=1；此時 xb xaxx coslim20 ???是 00 型未定式，從而可繼續(xù)應用羅必達法則進行求解，避免了武斷上述極限存在的錯誤。該問題的關鍵還是討論)( )(lim xg xf??的存在性，只有它存在，才能使用羅氏定理。每 次使用羅必達法則之前，必須檢驗是否屬于 ??或00 不 定 型 。 若 不 是 未 定 式 ， 則 不 能 使 用 羅 氏 法 則 。 又 如 ：xx xexx sincoslim0??= xxx xexx c ossinsinlim0 ???=? ，如果不檢驗，盲目地繼續(xù)使用羅必達法則，將得出錯誤的結果： xxx xexx c ossinsinlim0 ???= xxx xe xx c os2s inc oslim0 ????=分而非必要條件，也就是說，當遇到)( )(lim xg xf??不存在時（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。這也是將要討論的使用定 理的第三點需要注意的地方。 當遇到)( )(lim xg xf??不存在時（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。 例 18： xx xxx cossinlim ???? 這是一個 ?? 型的不定式。如果使用羅必達法則就得 xx xxx cossinlim ????= xxx sin1 cos1lim ???? 但是當 x? ? 時， sinx cosx 震蕩不定，所以當 x? ? 時 sinx cosx 的極限都不存在。但是并不等于說 xx xxx cossinlim ????不存在。事實上，適當變形可得 xx xxx cossinlim ????=xxxxx cos1sin1lim????=xxxxxx cos1sin1limlim?????? =0101?? =1 例 19： xxxx sin1sinlim2?? 這是一個 00 型不定式。如果使用羅必達法則就得 xxxx sin1sinlim2??= x xxxxx c o s1c o s1s in2lim ??? 當 x?0時， x1cos 的極限不存在，從而 x xxxxx c o s1c o s1s in2lim ??? 不存在。但是使用適當變形由極限運算法則有 xxxx sin1sinlim2??=xxxxx sin1sinlim?? =xxxxxx sin1sinlimlim00?? =0 故 xxxx sin1sinlim2??存在 羅氏定理在某些情況下失效 當 0?X 時 ,函數(shù)式中包含 x1sin 或 x1cos 和當 ??X 時，函數(shù)式中包含 sinx或 cosx 羅必達法則失效。 例 20: 求 xxxx sin1sinlim20? 分析： 此 極限 是 00 型不定式，將分子分母分別求導后的極限為x xxxxx c o s1c o s1s in2lim0 ?? 由于極限式子中含有 x1cos ， 該極限震蕩不能繼續(xù)求導，但是不能說原極限不存在。此時只能說羅必達法則對此題失效 . 例 21： 證明極限 xx xxx sinsinlim ????存在，但是不能用羅必達法則計算 證： 因為 xx xxx sinsinlim ????=xxxxx sin1sin1lim???? =xxxxxx sinlim1sin1 lim?????? =1 但是)sin( )sin(lim ?? ???? xx xxx= xxx cos1 cos1lim ???? = 2lim 2xctgx ?? 不存在 因此，不能用羅必達法則來求解 評析： 此題雖然當 ??X 時xx xxx sinsinlim ????是??型，但是分子分母導數(shù)之比的極限屬于震蕩型不存在，由此而斷定原極限不存在時錯誤的。此例表明，應用羅必達法則的條件不具備，需用其它方法來 求解，即羅必達法則失效。 在連續(xù)使用羅必達法則后，如果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，也說明羅必達法則失效。 例 22: ee eexxxxx ????? ??lim 這是一個 ?? 型未定式，如果連續(xù)使用羅必達法則就得 原式 = ee eexxxxx ????? ??lim = ee ee