【正文】 窮 小分析》 ﹝ 1696﹞，是世界上第一本 系統 的 微積 分 學 教科 書 ，他由一 組 定 義 和公理出 發(fā) ，全面地 闡述了變量 、 無窮 小量、 切線 、微 分等概念， 這對傳播微積分理論起了很大的作用。這也成為羅必達人生中一個重大的轉折點。Hospital） 羅必達是十七世紀世界著名的數學家之一， 1661年出生 于 法 國 的 貴族 家庭， 1704年2月 2日 在 巴黎去逝。 參考文獻 ...................................................................... 錯誤 !未定義書簽。 ......... 錯誤 !未定義書簽。 羅必達法則的失效 ................... 錯誤 !未定義書簽。s rule undetermined type limit Problem Solving Method 目錄 摘 要 ......................................................................................................... 1 ABSTRACT.............................................................................................. 3 第 1章 緒論 .............................................................................................. 3 數學家羅必達簡介 .................................. 5 羅必達法則的提出 .................................. 5 掌握羅必達法則求極限的意義 ......................... 5 第 2章 羅必達法則的定理 ........................................................................ 6 定理的內容 ........................................ 7 定理的證明 ........................................ 7 定理的限定條件分析 ................. 錯誤 !未定義書簽。s rule and choose the appropriate, suitable and flexible approach to solve the problem. Finally,by pare of the strengths and the weaknesses of a variety of ways in calculate limit, we can deep understanding of Luo H244。 and through paring different methods to solve a kind of limit problem which is a hard nut to crack to Luo H244。s rule. This thesis start from the theorem of Luo H244。 本文將從羅必達法則的定理出發(fā)分析應用羅必達法則求極限應注意的幾個問題；通過解析相關例題總結出用羅必達法則求各種類型未定式極限的一般程序 ；通過類比解析一類利用羅必達法則不能得心應手，不能通過簡單套用得出結果的求極限問題來分析如何克服羅必達法則運用的弱點，從而選擇恰當、合適的方法來靈活解題。 最后，通過以上對羅必達法則求極限方法的分析及在解某些題目時與其它求極限方法 的優(yōu)劣對比，能夠 達到深刻理解羅必達法則求不定型極限的定理，熟練掌握用羅必達法則求極限的方法，正確應用其它求極限的方 法輔助解題，簡化解題過程。pital39。pital39。pital39。 舉例解析各類未定式極限 .............. 錯誤 !未定義書簽。 使用羅必達法則解題過程繁瑣 .......... 錯誤 !未定義書簽。 ............ 錯誤 !未定義書簽。 致謝 ............................................................................. 錯誤 !未定義書簽。他 一生聰明好學，在 15歲時就學會解旋轉線的問題。此后羅必達潛心學習數學，在瑞士數學家白努力的門下學習微積分，并成為法國新解析的主要成員。羅必達還寫 作 過幾何 ，代 數 及力 學 方面的文章。 羅必達法則的提出 十七世紀著名法國數學家羅必達 L39?？墒菍W生在使用羅必達法則時經常會得出一些錯誤的結果或者難以得出結果。深刻理解定理的內涵，熟悉定理的使用條件，歸納總結解題的一般步驟，靈活使用各種方法輔助解題，開拓解題思路。這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅必達法則。如果 不是就不能使用羅必達法則，否則就會得出錯誤的結果。 羅必達法則的條件（ 2）要求在 a 的 某去心領域內 0)(F)(F)( ???? xxxf 都存在且及從而 保 證了 洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。 例 3： )(sin5 c os3lim ?????? xx xxx（用羅必達法則） = xxx cos5 sin3lim ???? 由于右邊的極限不存在，故左邊的極限，即原極限也不存在。若不是未定式，則不能再使用羅必達法則。 例 14：求 W= xxx exc os1 12 )1(0lim ?? ? 解： 這是 1? 型未定式 因為xexxx cos1)1ln(0lim 2??? =xexxx cos10lim2?? = xxx exx02 limc os10lim ?? ? =2 所以 W=2e 例 15： :求 W=xx xc sin)tan(0lim ?? 分析：這是一個 ?0 型未定式極限，其求法與 1? 類似 解：xx xc sin)tan(0lim ??=xxx e cotlnsin0lim?? =xxe xsin1cotlnlim0? =0e =1 第 3章 使 用羅必達法則解題應注意的問題 注意定理的使用條件 在前一章羅必達法則的定理分析中我已對定理的條件進行了初步分析，下面我將結合具體例題從正反兩個方面不同角度來分析在用羅必達法則求極限時應注意定理條件從而加深讀者的印像。 例 16： 求 xxxx 2cos1 sinlim0 ?? 分析：此式為 00 型未定式，符合羅必達法則 解：原式 = x xxxx 2sin2 c ossinlim0 ?? = = = = 這個結果是 錯誤 的 。 解（ 2） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???= 10?b 如果 b? 1,則上式等于 0，與已知條件矛盾；如果 b=1， xb xaxx coslim20 ??? 是 00 型未定式，用羅必達法則求解，即 }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???（ 00 ） = )1c o s1(lim20 xaxxx ???? = =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a2=1即 a=4 評析： 解法（ 2）求出 xb xaxx coslim20 ??? = 10?b 后，討論了其存在 性，排除 b? 1的情形后，得出 b=1；此時 xb xaxx coslim20 ???是 00 型未定式，從而可繼續(xù)應用羅必達法則進行求解，避免了武斷上述極限存在的錯誤。 又 如 ：xx xexx sincoslim0??= xxx xexx c ossinsinlim0 ???=? ，如果不檢驗，盲目地繼續(xù)使用羅必達法則，將得出錯誤的結果： xxx xexx c ossinsinlim0 ???= xxx xe xx c os2s inc oslim0 ????=分而非必要條件，也就是說，當遇到)( )(lim xg xf??不存在時（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。如果使用羅必達法則就得 xx xxx cossinlim ????= xxx sin1 cos1lim ???? 但是當 x? ? 時， sinx cosx 震蕩不定，所以當 x? ? 時 sinx cosx 的極限都不存在。但是使用適當變形由極限運算法則有 xxxx sin1sinlim2??=xxxxx sin1sinlim?? =xxxxxx sin1sinlimlim00?? =0 故 xxxx sin1sinlim2??存在 羅氏定理在某些情況下失效 當 0?X 時 ,函數式中包含 x1sin 或 x1cos 和當 ??X 時，函數式中包含 sinx或 cosx 羅必達法則失效。 在連續(xù)使用羅必達法則后，如果出現循環(huán)現象，也說明羅必達法則失效。 對于某些題目 使用羅必達法則解題過程繁瑣。 例 25： 求極限11sin1lim20 ???? exxxx（ 00 ） 分析：此題若用羅必達法則求解過程很繁瑣，如果使用下一章介紹的等價無窮小量替換則會起到“柳暗花明”的效果。 例 26：