【正文】 另外，我還要感謝在這幾年來所有教導我的老師，他們孜孜不倦的教誨不但讓我學到了很多知識，而且讓我掌握了學習的方法，更教會了我做人處事的道理，在此表示感謝。 在本次畢業(yè)設計中，特別感謝指導老師的悉心指導。 但是卻很充實，學到了不少知識。其中有些題目 是以羅必達法則為主，輔以其它的解法。這也是學生在學習羅必達法則的過程中常常遇到的棘手問題。然后著重強調(diào)了在解題中應注意的幾個問題，這也是如何用好羅必達法則解題的基礎，只有注意了這些問題才能夠正確的使用羅必達法則。 解：當 ,sin0 xxx ?? 時 所以在區(qū)間 [sinx,x]上對函數(shù) xxf 2)( ? 應用拉格朗日 中 值 定 理 可 得 )s in(2ln222 s in xxxx ??? ? 其中 x ???sin ，由于當則且時 00s i n0 ??? ?xx 3sin220lim x xxx??=3, )s in(2ln20lim x xxx ???? =30 s inlim2ln20lim x xxx ??? ?? =30 sinlim2ln x xxx ?? =20 3cos1lim2ln x xx ?? = xxx 6sinlim2ln 0? = 62ln 例 41： 求極限x xxx s in s in1t a n10lim ???? 解： 上或在時，顯然（或當 ]s i n,[ t a n]t a n,[ s i n)()00,1)( xxxxxfttttf ????滿足拉格朗日定理，得 )s i n( t a n0,t a ns i n,12 s i nt a ns i n1t a n1xxxxxxxx???????????????或 則x xxx s in s in1t a n10lim ????=??? ?? 12sin sintan0lim x xxx =x xxx sin sintan0lim21 ?? =x xxx c os c oss ec0lim212 ?? =0 總 結(jié) 我從一開始寫這篇文章時對求極限問題只是有一些膚淺的了解，但是我對如何使用好羅必達法則求極限這個問題很有興趣，通過上網(wǎng)查閱資料對羅必達法則的定理，使用方法等進行了系統(tǒng)的學習和研究，然后我才開始著手寫這篇文章。 解： W= )t a nt a nt a n1 t a nt a n(10lim 222222 aax xaxx ?? ?? = )t a nt a n1 1t a nt a n(0lim 22422axax xx ? ??? = 1tan4 ?a 例 31： 求極限 W=)1ln( s in1t a n10lim 2 xxx xxx ?? ???? 解析 ： 恒等變形：分子分母同乘 xx s in1ta n1 ??? 得 W= xxxxx xxx s in1ta n1 1)1ln (s inta n0lim 2 ?????? ?? =xxxxx xx xx s i n1ta n1 1)1l n (s i nta n0lim l im 02 ?????? ? ?? =21)1ln(cos10lim xx xx ???? =21xxx ??? 1 11sin0lim =21 )1(sin0lim xx xx ?? =21 結(jié)合無窮小量替換簡化解題過程 例 32： 求極限 xx eexxx sin0limsin??? 解： 原式 =xx eexxxx s in)1(0lim sinsin ? ??? =teettxx10lim lim0sin ???（其中 xxt sin?? ） 由 tet ~1? （ 0?t )知后面一個極限為 1 =1 例 33：求極限 W=)c os1( c os10lim xx xx ???? 解： 先做恒等變化與等價無窮小量替換再用羅必達法則 )0(21~c o s1,21~c o s1 2 ???? xxxxx W= )c o s1 1)c o s1( c o s1(0lim xxx xx ?????? =21xxxx21210lim2?? =21 例 34： 設常數(shù) a0,求 W=xaaxxx 3sinsin0lim ?? 分析： 這是零比零未定型，若直接用羅必達法則復雜。因此，每次使用羅必達法則之前，一般宜先化簡。這將在下一章 中詳細介紹。在下一章 將著重闡述如何克服羅必達法則的這些弱點。此例表明，應用羅必達法則的條件不具備，需用其它方法來 求解，即羅必達法則失效。如果使用羅必達法則就得 xxxx sin1sinlim2??= x xxxxx c o s1c o s1s in2lim ??? 當 x?0時， x1cos 的極限不存在，從而 x xxxxx c o s1c o s1s in2lim ??? 不存在。 例 18： xx xxx cossinlim ???? 這是一個 ?? 型的不定式。 若 不 是 未 定 式 ， 則 不 能 使 用 羅 氏 法 則 。根據(jù)羅比達法則的條件（ 2），只有當 xxaxx cos1lim20 ???存在時，（ **）式才成立，這個問題往往被人們忽視，因此后面的兩步就失去了根基，所以解法（ 1）是 錯誤的。如果不是就不能再使用。這時可從括號內(nèi)提出無窮大因子 X,先化為 ??0 型未定式，然后再通過換元 xy 1? 化為 00型未定式求極限 解： ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ?=yye yy 1)1)1((lim 10 ????? =yey Yy1lim )1ln(10???? ? =yyyy)1ln(1lim0???? =20 )1ln(lim y yyy ???? =11lim210 ??? yy =21 2. 對于 ?? 00 10 、 不定型極限，求解的思路一般是通過取對數(shù)求極限法再應用羅必達法則 例 12： 求xx x0lim?? 解 這是未定式 00 設 y=xx 取對數(shù)得 lny=xlnx 當 x? 0? 時，上式右端是未定式 ??0 則 yx ln0lim??= xxx ln0lim??=0 因為 y=eyln , 而 lim y=lim eyln =e ylnlim ( 當 x? 0? 時 ) 所以 xx x0lim??= yx 0lim??=e0 =1 例 13： 求 xx x1)(cos0lim?? 解 這是 1? 型未定式，恒等變形為 xx 1)(cos = e xx cosln1 由 xx x1)(cos0lim??= ????? xxxx 21c o ss in0lim ????? ? xxxxx1c os2 s in0lim l i m021 所以 xx x1)(cos0lim??=e21? =e1 評析： 此題用恒等變形求解，其實質(zhì)仍是取對的思想，但是它避免了引入未知數(shù)從而簡化解題過程。具體解法將在下節(jié)詳細解析 解析各類未定型極限 對 00 型極限的求解分析： 例 4 :求xxx 1arctan21lim??? 分析： 逐一判斷是否符合羅必達法則的使用條件，首先這是一個 00 型的未定式極限問題，符合羅必達法則使用條件（ 1），其次每次使用羅必達法則之前，必須檢驗是否屬于 00 型或 ?? 型未定式。這時，應當改用其他方法。如果用羅必達法則會得出錯誤 答案 exx x?? 1sinlim0=)1( )(sinlim0 ?? ?? exx x = exx xcoslim0?=1 而正確解法為： exx x?? 1sinlim0=20 =0 由此可見，不是 00 型或 ?? 型的不定式就不能使用羅必達法則否則就會出錯。 定理限定條件的分析的 羅必達法則的條件（ 1）告訴我們，只有??和00不定型極限才能使用羅必達法則， 在每次使用羅必達法則之前，必須檢查所求極限是否屬這兩種類型的不定型。 （ 3） 存在)( )(lim xF xfax ???（或為無 窮大） 那么 )( )(lim)( )(lim xF xfxF xfaxax ????? 這就是說，當)( )(lim xF xfax ???存在時，)( )(lim xFxfax?也存在且等于)( )(lim xF xfax ???；當)( )(lim xF xfax ???為無窮大時，)( )(lim xFxfax?也是無窮大。本文幫助學生去培養(yǎng)分析問題的能力。 熟練掌握羅必達法則求極限的意義 羅必達法則的提出無疑是解決某些零比零或無窮比無窮型極限計算的一個簡便有力的工具。其遺留的手稿由白努力幫其發(fā)表，于 1720年巴黎出版。 其 著作《 闡 明 曲線 的 無