【正文】 (x)無關(guān)，所以可以假定 f(x)=F(x)=0 于是由條件（ 1）（ 2）知道， f(x)及 F(x)在點 a的某一領(lǐng)域內(nèi)是連續(xù)的。設(shè) x 是這個領(lǐng)域內(nèi)的一點，那么在以 x及 a為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有)( )()()( )()()( )( ??FfaFxF afxfxF xf ??????(? 在 x 與 a之間 ) 令 x?a,并對兩端求極限，注意到 x?a 時 a?? ，再根據(jù)條件（ 3）便得證 如果 )()(xFxf?? 當(dāng) x?a時仍是零比零型，且這時 )(xF? )(xf? 能滿足定理中 f(x)及 F(x)滿足的條件，那么可以極限使用羅必達(dá)法則先確定)( )(lim xF xfax ???從而確定)( )(lim xFxfax?即 ???? ?? )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ))lim xF xfax ????? 且可以依次類推。 定理限定條件的分析的 羅必達(dá)法則的條件（ 1）告訴我們，只有??和00不定型極限才能使用羅必達(dá)法則， 在每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢查所求極限是否屬這兩種類型的不定型。如果 不是就不能使用羅必達(dá)法則，否則就會得出錯誤的結(jié)果。 例 1 求極限 xxx cos 12lim0 ?? 這個極限既不是 00 型的不定式，也不是 ?? 型的不定式。如果使用羅必達(dá)法則就會得出如下錯誤的結(jié)果： ??? xxx cos 12lim0 ???? xx sin2lim0 事實上，根據(jù)極限運算法則有 ??? xxx cos 12lim0 xxxx coslim )12(lim00?? ? = ocos10? =1 例 2 求極限 exx x?? 1sinlim0 同理這個極限也不是不定型，而是確定型。如果用羅必達(dá)法則會得出錯誤 答案 exx x?? 1sinlim0=)1( )(sinlim0 ?? ?? exx x = exx xcoslim0?=1 而正確解法為： exx x?? 1sinlim0=20 =0 由此可見，不是 00 型或 ?? 型的不定式就不能使用羅必達(dá)法則否則就會出錯。 羅必達(dá)法則的條件（ 2）要求在 a 的 某去心領(lǐng)域內(nèi) 0)(F)(F)( ???? xxxf 都存在且及從而 保 證了 洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。 分析羅必達(dá)法則的條件（ 3）尤其應(yīng)該注意此條件只是充分條件，而不是必要條件。因此，當(dāng)極限)( )(lim xF xfax ???不存在也不是 ? 時，就不能肯定原極限)( )(lim xFxfax?也不存在。這時，應(yīng)當(dāng)改用其他方法。 例 3： )(sin5 c os3lim ?????? xx xxx（用羅必達(dá)法則） = xxx cos5 sin3lim ???? 由于右邊的極限不存在，故左邊的極限，即原極限也不存在。 這個結(jié)論是錯誤的，上式中的等號不成立。事實上，我們有 )(sin5 c os3lim ?????? xx xxx = xxxxx sin5cos3lim???? = 05 03?? =3/5 羅必達(dá)定理給出的不定型只有兩種 00 型， ?? 型 而對于這些不定型如 ??????? 00 100 、 型的未定型，則應(yīng)先轉(zhuǎn)換為 00 型 ?? 型再來計算。具體解法將在下節(jié)詳細(xì)解析 解析各類未定型極限 對 00 型極限的求解分析： 例 4 :求xxx 1arctan21lim??? 分析： 逐一判斷是否符合羅必達(dá)法則的使用條件，首先這是一個 00 型的未定式極限問題，符合羅必達(dá)法則使用條件（ 1），其次每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗是否屬于 00 型或 ?? 型未定式。若不是未定式，則不能再使用羅必達(dá)法則。此題解法如下 解：xxx 1arctan21lim???=22111limxxx ?????（仍為 00 型，可繼續(xù)使用羅達(dá)法則） = xxx 221lim ???（同上） = xxx 22lim??（同上 ） =1 對 ?? 型極限的求解分析 例 5 求 xnx xlnlim??? （ n0) 分析：此題為 ?? 型不定式極限，其解題步驟與 00 型類似，需要注意的地方仍就是每次使用羅必達(dá) 法則之前，必須檢驗 解：原式 = nxnx x 11lim ???? = nxnx 1lim??? = 0 例 6 求 exxnx ????lim （ n為正整數(shù) ? 0) 解： 相繼應(yīng)用羅必達(dá)法則 N 次，得 exxnx ????lim=enx xnx ? ?1lim ????=exnnxnx ? ?2lim)1( 2? ????=...... =enn xx ? ?!lim???=0 對 ??????? 00 100 、 不定型極限的求解分析 1. 對于 ????? 、0 不定型極限，求解的思路主要是把它們轉(zhuǎn)化為00型或??型未定式 然后應(yīng)用羅必達(dá)法則解題。 例 7：求 xxnx ln0lim?? 解 這是未定式 ??0 因為 xxnln =nxx1ln 當(dāng) x? 0? 時，上式右端是未定式 ?? ，應(yīng)用羅必達(dá)法則，得 xxnx ln0lim??=nx xx???ln0lim=110lim ??? ?? nx nxx =0 例 8： 求 )0,0)((lim 11 ????? babaxxxx 解：此極限屬于 ??0 型可化為 00 型未定式 )(lim 11 xxx bax ???= t ba ttt??0lim )1( xt? = )lnln(lim0 bbaa ttt ?? = baln 例 9： 求 )tan(seclim2xxx ??? 解 這是未定式 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為00型，再應(yīng)用羅必達(dá)法則 因為 xx tansec ? = xxcossin1? 當(dāng) X? 2? 時，上式右端為 00 型未定式，由羅必達(dá)法則求得 )tan(seclim2xxx ??? = xxx cossin1lim2???=xxx sincoslim2 ????=0 例 10： 求極限 )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ??? 分析： 所求極限為 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為 00 型，再應(yīng)用羅必達(dá)法則 解： )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ???=xx xxx s in)1ln ( )1ln (s inlim0 ? ??? =20 )1ln (s inlim x xxx ??? = x xxx 21 1coslim0??? = xx xxxx ???? ?? 1 1lim1c o s)1(lim21 00 = )c o s1( c o slim210 x xxx ??? =21 例 11：求極限 ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ? 分析：所求極限是 ??? 型未定式，但是無法直接化為 00 型或 ?? 型的未定式。這時可從括號內(nèi)提出無窮大因子 X,先化為 ??0 型未定式，然后再通過換元 xy 1? 化為 00型未定式求極限 解： ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ?=yye yy 1)1)1((lim 10 ????? =yey Yy1lim )1ln(10???? ? =yyyy)1ln(1lim0???? =20 )1ln(lim y yyy ???? =11lim210 ??? yy =21 2. 對于 ?? 00 10 、 不定型極限，求解的思路一般是通過取對數(shù)求極限法再應(yīng)用羅必達(dá)法則 例 12： 求xx x0lim?? 解 這是未定式 00 設(shè) y=xx 取對數(shù)得 lny=xlnx 當(dāng) x? 0? 時，上式右端是未定式 ??0 則 yx ln0lim??= xxx ln0lim??=0 因為 y=eyln , 而 lim y=lim eyln =e ylnlim ( 當(dāng) x? 0? 時 ) 所以 xx x0lim??= yx 0lim??=e0 =1 例 13： 求 xx x1)(cos0lim?? 解 這是 1? 型未定式，恒等變形為 xx 1)(cos = e xx cosln1 由 xx x1)(cos0lim??= ????? xxxx 21c o ss in0lim ????? ? xxxxx1c os2