【正文】 83。錯(cuò)誤 !未定義書簽。 I 微積分及其應(yīng)用 摘 要 微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求解導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論 。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 希望通過本文的介紹能使人們意識(shí)到微積分與其他各學(xué)科的密切關(guān)系，讓大家能意識(shí)到理論與實(shí)際結(jié)合的重要性。 關(guān)鍵詞 微積分；應(yīng)用；經(jīng)濟(jì)學(xué)；物理學(xué)；幾何 II Calculus and the application of the Calculus Abstract Calculus is a branch of mathematics to study the Differential, Integral of function, and the concern concepts and applications in higher mathematics. It is a basic discipline of mathematics. It Includes Limits, Differential Calculus, Integral Calculus and the use of Differential calculus. Differential Calculus includes solving the derivation of the operator and it is a theory about the rate of change. It makes the function, velocity, acceleration, and the slope of the curve can be discussed through a mon set of symbols. Calculus and the puting the operation provide a mon set of methods for the definition and calculation of the area and volume Calculus develops with the application of the Calculus。 Newton used Calculus and Differential Equations to derive the three laws of the movement of the pla from the law of universal gravitation initially. Since then, the Calculus not only promotes the development of mathematics greatly, but promotes the various branches about natural sciences, social sciences and applied science greatly， such as astronomy, mechanics, physics, chemistry, biology, engineering and economics. And it applicants widen and widen in these disciplines, especially contributes to the continuous development of these applications after the emergence of the Computer. I hope that I can make people aware of the close relationship of the Calculus and other disciplines through this article, so that we can aware of the importance of the connation between theory and practice. Key words： Calculus。 Application。 Economics。 Physics。 1 前 言 微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。 從 17 世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入 了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。通過研究微積分在物理，經(jīng)濟(jì)等方面的具體應(yīng)用，得到微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學(xué)工具科學(xué)地解決問題。 微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開始，進(jìn)而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程。人類對客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級到高級、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。 2 2 微積分的介紹 微積分的基本內(nèi)容 一 階微分 定義：設(shè)函數(shù) )(xFy? 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 0x 及 xx ??0 在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量 )( 0 xxfy ???? ， )( 0xf 可表示為 )( xoxAy ????? （其中 A 是不依賴于 x? 的常數(shù)），而 )( xo? 是比 x? 高階的無窮小，那么稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 0x 是可微的，且 xA? 稱作函數(shù)在點(diǎn) 0x 相應(yīng)于自變量增量 x? 的微分，記作 dy ，即 xAdy ?? 。 通常把自變量 x 的增量 x? 稱為自變量的微分，記作 dx ，即xdx ?? 。于是函數(shù) )(xfy? 的微分又可記作 dxxfdy )(39。? 。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。 幾何意義 設(shè) x? 是曲線 )(xfy? 上的點(diǎn) M 的在橫坐標(biāo)上的增量， y? 是曲線在點(diǎn) M 對應(yīng) x? 在縱坐標(biāo)上的增量， dy 是曲線在點(diǎn) M 的切線對應(yīng)x? 在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng) || x? 非常小時(shí)， || dyy?? 比 || x? 要小得多 (高階無窮小 )，因此在點(diǎn) M 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。 多元微分又叫全微分，是由兩個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)相對應(yīng)的一元微分的增量表示的。 )(?oyBxAZ ?????? 為函 數(shù) Z 在點(diǎn) ),( yx 處的全增量（其中 A、 B不依賴于 x? 和 y? ，而只與 x、 y 有關(guān)， 22 yx ??? , yBxA ??? 即是 Z在點(diǎn)的全微分。 3 總的來說，微分學(xué)的核心思想便是以直線代替曲線，即在微小的 鄰域 內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計(jì)算過程。 設(shè) )(xF 為函數(shù) )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù) )(xf 的所有原函數(shù)CxF ?)( （ C 為任意常數(shù)）叫做函數(shù) )(xf 的不定積分。 記作 dxf? )( 。其中 ? 叫做積分號， )(xf 叫做被積函數(shù)， x 叫做積分變量， dxxf )( 叫做被積式， C 叫做積分常數(shù)，求 已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。 由定義可知： 求函數(shù) )(xf 的不定積分，就是要求出 )(xf 的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù) )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù) C，就得到函數(shù) )(xf 的不定積分。 積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和， 通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。 一個(gè)函數(shù)的不定積分指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)，其中： )(])([ 39。 xfCxF ?? 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在 b 的值減去在 a的值。 積分從不同的問題抽象出來的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出的。例如：已知定義在區(qū)間 I 上的函數(shù) )(xf ，求一條曲線 lxxFy ?? ),( ，使得它 4 在每一點(diǎn)的切線斜率為 )()(39。 xfxF ? 。函數(shù) )(xf 的不定積分是 )(xf 的全體原函數(shù)（見原函數(shù)），記作 。如果 )(xF 是 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則 ，其中 C 為任意常數(shù)。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。)(xfy? 為 定義在 ],[ ba 上的函數(shù)，為求由 0, ??? ybxax 和 )(xfy? 所圍圖形的面積 S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直線代替曲線，求出 S 的近似值，再取極限得到所求面積 S，為此，先將 ],[ ba分成 n 等分： bxxxa n ???? ...10 ，取 ],1[ ii xxi ??? ，記 1???? iii xxx ，則 np 為 S 的近似值，當(dāng) ???n 時(shí)， np 的極限應(yīng)可作為面積 S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念：對于定義在 ],[ ba 上的函數(shù) )(xfy? ，作分劃 bxxxa n ???? ...10 ，若存在一個(gè)與分劃及],1[ ii xxi ??? 的取法都無關(guān)的常數(shù) I，使得 ,其中則稱 I 為 )(xf 在 ],[ ba上的定積分，表為即 稱 ],[ ba 為積分區(qū)間， )(xf 為被積函數(shù)， a， b分別稱為積分的上限和下限。當(dāng) )(xf 的原函數(shù)存在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求 )(xf 的不定積分：這是 c 牛頓萊布尼茲公式。 微積分的發(fā)展 微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生 產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的極限思想，公元 263 年，劉徽的《九間算術(shù)》作 5 注時(shí)提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。 積分概念是由求某一些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是“有限 ”開工的窮竭法，但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。 微分是聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀(jì)下半葉各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分。 1605 年 5 月 20 日，在牛頓手寫的一面文件中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著 作很多寫于 1665 1676年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微積分是一對互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓 萊而尼茨公式。 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。 從 17 世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。 6 整個(gè) 17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開 創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分枝還是牛頓和萊布尼茨。 微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階