【正文】 存在 羅氏定理在某些情況下失效 當(dāng) 0?X 時(shí) ,函數(shù)式中包含 x1sin 或 x1cos 和當(dāng) ??X 時(shí)，函數(shù)式中包含 sinx或 cosx 羅必達(dá)法則失效。 例 16： 求 xxxx 2cos1 sinlim0 ?? 分析：此式為 00 型未定式，符合羅必達(dá)法則 解：原式 = x xxxx 2sin2 c ossinlim0 ?? = = = = 這個(gè)結(jié)果是 錯(cuò)誤 的 。 羅必達(dá)法則的條件（ 2）要求在 a 的 某去心領(lǐng)域內(nèi) 0)(F)(F)( ???? xxxf 都存在且及從而 保 證了 洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止?？墒菍W(xué)生在使用羅必達(dá)法則時(shí)經(jīng)常會(huì)得出一些錯(cuò)誤的結(jié)果或者難以得出結(jié)果。他 一生聰明好學(xué)，在 15歲時(shí)就學(xué)會(huì)解旋轉(zhuǎn)線的問題。 舉例解析各類未定式極限 .............. 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 最后，通過以上對(duì)羅必達(dá)法則求極限方法的分析及在解某些題目時(shí)與其它求極限方法 的優(yōu)劣對(duì)比，能夠 達(dá)到深刻理解羅必達(dá)法則求不定型極限的定理，熟練掌握用羅必達(dá)法則求極限的方法，正確應(yīng)用其它求極限的方 法輔助解題，簡化解題過程。s rule and choose the appropriate, suitable and flexible approach to solve the problem. Finally,by pare of the strengths and the weaknesses of a variety of ways in calculate limit, we can deep understanding of Luo H244。 參考文獻(xiàn) ...................................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。其遺留的手稿由白努力幫其發(fā)表，于 1720年巴黎出版。 定理限定條件的分析的 羅必達(dá)法則的條件（ 1）告訴我們，只有??和00不定型極限才能使用羅必達(dá)法則， 在每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢查所求極限是否屬這兩種類型的不定型。這時(shí)可從括號(hào)內(nèi)提出無窮大因子 X,先化為 ??0 型未定式，然后再通過換元 xy 1? 化為 00型未定式求極限 解： ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ?=yye yy 1)1)1((lim 10 ????? =yey Yy1lim )1ln(10???? ? =yyyy)1ln(1lim0???? =20 )1ln(lim y yyy ???? =11lim210 ??? yy =21 2. 對(duì)于 ?? 00 10 、 不定型極限，求解的思路一般是通過取對(duì)數(shù)求極限法再應(yīng)用羅必達(dá)法則 例 12： 求xx x0lim?? 解 這是未定式 00 設(shè) y=xx 取對(duì)數(shù)得 lny=xlnx 當(dāng) x? 0? 時(shí)，上式右端是未定式 ??0 則 yx ln0lim??= xxx ln0lim??=0 因?yàn)? y=eyln , 而 lim y=lim eyln =e ylnlim ( 當(dāng) x? 0? 時(shí) ) 所以 xx x0lim??= yx 0lim??=e0 =1 例 13： 求 xx x1)(cos0lim?? 解 這是 1? 型未定式，恒等變形為 xx 1)(cos = e xx cosln1 由 xx x1)(cos0lim??= ????? xxxx 21c o ss in0lim ????? ? xxxxx1c os2 s in0lim l i m021 所以 xx x1)(cos0lim??=e21? =e1 評(píng)析： 此題用恒等變形求解，其實(shí)質(zhì)仍是取對(duì)的思想，但是它避免了引入未知數(shù)從而簡化解題過程。 例 18： xx xxx cossinlim ???? 這是一個(gè) ?? 型的不定式。這將在下一章 中詳細(xì)介紹。然后著重強(qiáng)調(diào)了在解題中應(yīng)注意的幾個(gè)問題，這也是如何用好羅必達(dá)法則解題的基礎(chǔ)，只有注意了這些問題才能夠正確的使用羅必達(dá)法則。 在本次畢業(yè)設(shè)計(jì)中，特別感謝指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)。 但是卻很充實(shí)，學(xué)到了不少知識(shí)。 解：當(dāng) ,sin0 xxx ?? 時(shí) 所以在區(qū)間 [sinx,x]上對(duì)函數(shù) xxf 2)( ? 應(yīng)用拉格朗日 中 值 定 理 可 得 )s in(2ln222 s in xxxx ??? ? 其中 x ???sin ，由于當(dāng)則且時(shí) 00s i n0 ??? ?xx 3sin220lim x xxx??=3, )s in(2ln20lim x xxx ???? =30 s inlim2ln20lim x xxx ??? ?? =30 sinlim2ln x xxx ?? =20 3cos1lim2ln x xx ?? = xxx 6sinlim2ln 0? = 62ln 例 41： 求極限x xxx s in s in1t a n10lim ???? 解： 上或在時(shí)，顯然（或當(dāng) ]s i n,[ t a n]t a n,[ s i n)()00,1)( xxxxxfttttf ????滿足拉格朗日定理，得 )s i n( t a n0,t a ns i n,12 s i nt a ns i n1t a n1xxxxxxxx???????????????或 則x xxx s in s in1t a n10lim ????=??? ?? 12sin sintan0lim x xxx =x xxx sin sintan0lim21 ?? =x xxx c os c oss ec0lim212 ?? =0 總 結(jié) 我從一開始寫這篇文章時(shí)對(duì)求極限問題只是有一些膚淺的了解，但是我對(duì)如何使用好羅必達(dá)法則求極限這個(gè)問題很有興趣，通過上網(wǎng)查閱資料對(duì)羅必達(dá)法則的定理，使用方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和研究，然后我才開始著手寫這篇文章。在下一章 將著重闡述如何克服羅必達(dá)法則的這些弱點(diǎn)。 若 不 是 未 定 式 ， 則 不 能 使 用 羅 氏 法 則 。具體解法將在下節(jié)詳細(xì)解析 解析各類未定型極限 對(duì) 00 型極限的求解分析： 例 4 :求xxx 1arctan21lim??? 分析： 逐一判斷是否符合羅必達(dá)法則的使用條件，首先這是一個(gè) 00 型的未定式極限問題，符合羅必達(dá)法則使用條件（ 1），其次每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗(yàn)是否屬于 00 型或 ?? 型未定式。 （ 3） 存在)( )(lim xF xfax ???（或?yàn)闊o 窮大） 那么 )( )(lim)( )(lim xF xfxF xfaxax ????? 這就是說，當(dāng))( )(lim xF xfax ???存在時(shí)，)( )(lim xFxfax?也存在且等于)( )(lim xF xfax ???；當(dāng))( )(lim xF xfax ???為無窮大時(shí)，)( )(lim xFxfax?也是無窮大。 其 著作《 闡 明 曲線 的 無窮 小分析》 ﹝ 1696﹞，是世界上第一本 系統(tǒng) 的 微積 分 學(xué) 教科 書 ，他由一 組 定 義 和公理出 發(fā) ，全面地 闡述了變量 、 無窮 小量、 切線 、微 分等概念， 這對(duì)傳播微積分理論起了很大的作用。 ......... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 and through paring different methods to solve a kind of limit problem which is a hard nut to crack to Luo H244。pital39。 使用羅必達(dá)法則解題過程繁瑣 .......... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。此后羅必達(dá)潛心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在瑞士數(shù)學(xué)家白努力的門下學(xué)習(xí)微積分，并成為法國新解析的主要成員。深刻理解定理的內(nèi)涵，熟悉定理的使用條件，歸納總結(jié)解題的一般步驟，靈活使用各種方法輔助解題，開拓解題思路。 例 3： )(sin5 c os3lim ?????? xx xxx（用羅必達(dá)法則） = xxx cos5 sin3lim ???? 由于右邊的極限不存在，故左邊的極限，即原極限也不存在。 解（ 2） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???= 10?b 如果 b? 1,則上式等于 0，與已知條件矛盾；如果 b=1， xb xaxx coslim20 ??? 是 00 型未定式，用羅必達(dá)法則求解，即 }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???（ 00 ） = )1c o s1(lim20 xaxxx ???? = =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a