【正文】 法則是求不定型極限的有力工具，但不是所有不定式求值問題都能解決，該法則是有局限性的。此時只能說羅必達法則對此題失效 . 例 21： 證明極限 xx xxx sinsinlim ????存在，但是不能用羅必達法則計算 證： 因為 xx xxx sinsinlim ????=xxxxx sin1sin1lim???? =xxxxxx sinlim1sin1 lim?????? =1 但是)sin( )sin(lim ?? ???? xx xxx= xxx cos1 cos1lim ???? = 2lim 2xctgx ?? 不存在 因此，不能用羅必達法則來求解 評析： 此題雖然當 ??X 時xx xxx sinsinlim ????是??型，但是分子分母導(dǎo)數(shù)之比的極限屬于震蕩型不存在，由此而斷定原極限不存在時錯誤的。事實上，適當變形可得 xx xxx cossinlim ????=xxxxx cos1sin1lim????=xxxxxx cos1sin1limlim?????? =0101?? =1 例 19： xxxx sin1sinlim2?? 這是一個 00 型不定式。 當遇到)( )(lim xg xf??不存在時（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。每 次使用羅必達法則之前，必須檢驗是否屬于 ??或00 不 定 型 。 事實上，在連續(xù)使用兩次羅必達法則后，原極限已經(jīng)轉(zhuǎn)化成確定型了，因此正確解法是： （ 00 型）（用羅氏法則） = （ 00 型） = （確定型） =21 例 17： 問 a,b 取何值時， }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???=1成立（ a0) 解（ 1） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???=1? 0（ **） 而xaxx ??20lim=0，由此得到 )cos(lim0 xbx ??=0，于是 b=1，所以 xxaxx cos1lim20 ???= )1c o s1(lim20 xaxxx ???? =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a2=1即 a=4 根據(jù)以上從左到右的推導(dǎo)，問題出在（ **）式，即 xxaxx cos1lim20 ???的存在性并沒有論證。 在每次使用羅必達法則之前，必須檢查所求極限是否屬于 ??或00 不定型。 例 7：求 xxnx ln0lim?? 解 這是未定式 ??0 因為 xxnln =nxx1ln 當 x? 0? 時，上式右端是未定式 ?? ，應(yīng)用羅必達法則，得 xxnx ln0lim??=nx xx???ln0lim=110lim ??? ?? nx nxx =0 例 8： 求 )0,0)((lim 11 ????? babaxxxx 解：此極限屬于 ??0 型可化為 00 型未定式 )(lim 11 xxx bax ???= t ba ttt??0lim )1( xt? = )lnln(lim0 bbaa ttt ?? = baln 例 9： 求 )tan(seclim2xxx ??? 解 這是未定式 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為00型，再應(yīng)用羅必達法則 因為 xx tansec ? = xxcossin1? 當 X? 2? 時，上式右端為 00 型未定式，由羅必達法則求得 )tan(seclim2xxx ??? = xxx cossin1lim2???=xxx sincoslim2 ????=0 例 10： 求極限 )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ??? 分析： 所求極限為 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為 00 型，再應(yīng)用羅必達法則 解： )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ???=xx xxx s in)1ln ( )1ln (s inlim0 ? ??? =20 )1ln (s inlim x xxx ??? = x xxx 21 1coslim0??? = xx xxxx ???? ?? 1 1lim1c o s)1(lim21 00 = )c o s1( c o slim210 x xxx ??? =21 例 11：求極限 ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ? 分析：所求極限是 ??? 型未定式，但是無法直接化為 00 型或 ?? 型的未定式。事實上，我們有 )(sin5 c os3lim ?????? xx xxx = xxxxx sin5cos3lim???? = 05 03?? =3/5 羅必達定理給出的不定型只有兩種 00 型， ?? 型 而對于這些不定型如 ??????? 00 100 、 型的未定型，則應(yīng)先轉(zhuǎn)換為 00 型 ?? 型再來計算。因此，當極限)( )(lim xF xfax ???不存在也不是 ? 時，就不能肯定原極限)( )(lim xFxfax?也不存在。如果使用羅必達法則就會得出如下錯誤的結(jié)果： ??? xxx cos 12lim0 ???? xx sin2lim0 事實上，根據(jù)極限運算法則有 ??? xxx cos 12lim0 xxxx coslim )12(lim00?? ? = ocos10? =1 例 2 求極限 exx x?? 1sinlim0 同理這個極限也不是不定型，而是確定型。設(shè) x 是這個領(lǐng)域內(nèi)的一點，那么在以 x及 a為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有)( )()()( )()()( )( ??FfaFxF afxfxF xf ??????(? 在 x 與 a之間 ) 令 x?a,并對兩端求極限，注意到 x?a 時 a?? ，再根據(jù)條件（ 3）便得證 如果 )()(xFxf?? 當 x?a時仍是零比零型，且這時 )(xF? )(xf? 能滿足定理中 f(x)及 F(x)滿足的條件，那么可以極限使用羅必達法則先確定)( )(lim xF xfax ???從而確定)( )(lim xFxfax?即 ???? ?? )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ))lim xF xfax ????? 且可以依次類推。 第 2章 羅必達法則的定理 定理概述 定理 1 設(shè) （ 1）當 x?a 時，函數(shù) f(x)及 F(x)都趨于零； （ 2）在點 a 的某去心領(lǐng)域內(nèi)， 0)(F)(F)( ???? xxxf 都存在且及 。 首先，學生在學習一個定理時往往習慣于記公式，套結(jié)論，不善于去分析公式中的條件。 1696 羅必達提出了處理 00和??不定型極限的方法，后人命名為羅必達法則。但因天嫉英才，英雄早 逝 而未完成。 羅必達逝世后， 白努利 發(fā) 表 聲 明 該法則 及 許多 的其它 發(fā)現(xiàn)歸功于羅必達 。羅必達早年曾在軍隊里擔任騎兵軍官職位，后來因為視力聽 不佳而不得不退出軍隊。 第 1 章 緒論 羅必達 （ L39。 總 結(jié) ........................................................................... 錯誤 !未定義書簽。 結(jié)合恒等變形與極限四則運算簡化解題過程 錯誤 !未定義書簽。 定理條件的限定性 ................... 錯誤 !未定義書簽。pital39。pital39。 through resolving some relevant examples to sum up the general procedure of solving all kinds of undetermined type limits problem 。pital39。 畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 課 題 名 稱 羅必達法則應(yīng)用研討 系、年級專 業(yè) 理學系 06 級信息與計算科學 摘 要 極限問題是高等數(shù)學的基本問題之一 ，如何求極限又是極限問題的核心，求 解極限問題有很多方法，其中未定式極 限的求解方法常用羅必達法則。 關(guān)鍵詞 ： 羅必達法則；未定式；解題方法；極限 ABSTRACT Limit problem is one of the basic problems of higher mathematics, While how to calculate limit is the core of the limit are a large number