【導(dǎo)讀】解極限問題有很多方法，其中未定式極限的求解方法常用羅必達(dá)法則。本文將從羅必達(dá)法則的定理出發(fā)分析應(yīng)用羅必達(dá)法則求極限應(yīng)注意的幾個(gè)問題；題來(lái)分析如何克服羅必達(dá)法則運(yùn)用的弱點(diǎn)，從而選擇恰當(dāng)、合適的方法來(lái)靈活解題。使用羅必達(dá)法則解題過程繁瑣..........錯(cuò)誤!2月2日在巴黎去逝。他一生聰明好學(xué)，在15歲時(shí)就學(xué)會(huì)解旋轉(zhuǎn)線的問題。

　　

【正文】 11 1lim ??? ?xxxx =21ln 1lim ??? ?xe xxx =21lnlim??? ?xxxx =xxx lnlim?? =xx 2lim?? =0 例 36： 求極限 W= ])1ln( 1)1ln( 1[0lim 2 xxxx ????? 解： 將 分 母 先 作 等 價(jià) 無(wú) 窮 小 替 換 后 再 用 羅 必 達(dá) 法 則 ， 其 中)0(~)1ln (,~)1ln ( 2 ???? xxxxxx W= ])1ln ()1ln ( )1ln ()1ln ([0lim 22xxx xxxx ??? ????? =22 )1ln ()1ln (0lim x xxxx ????? = x xxx 211110lim2???? =21)1(1210lim xxx ??? xxxx)1(10lim 2 ???? =21x xxx )1(10lim2 ???? =2121110lim 2 ???? x xx =21 結(jié)合泰勒公式簡(jiǎn)化解題過程 例 37： 求極限xx exxx sincos0lim 322??? 解 ：將復(fù)雜式子 22xe? 和 cosx 用泰勒公式展開 22xe? =1+（ 22x? ） +21 22)2( x? + )( 4xo （ X 0? ） cosx=1 )(24121 442 xoxx ?? 則 cosx 22xe? = )(121 44 xox ?? 因此xx exxx sincos0lim 322??? = xx xoxx s in)(1210lim 344 ??? =121 xxx s in0lim? =121 xx c o s10lim? =121 例 38： 求極限xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? 解 ：因?yàn)?)(61211 332 xoxxxe x ????? )(211 333 xoxx ???? 將其代人得： xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? =xxxoxxoxx s in)(21)(610lim3333??????? = 31?xx xoxx x xx s in)(lim31s in0lim303??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31c o s1 30lim302??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31s in60lim30 ?? ?? =2+0 =2 例 39 求極限)1( sin0lim 2 ??? xx ex xx 解：將 )(!31s in 43 xoxxx ??? 代人極限式 原式 = 61?)1( )(0lim 243???? xx ex xox = 61? ])1( )(lim)1(0lim[ 240 ?????? xxxx exxoe x = 61? 01lim0 ??? xx e=61 結(jié)合拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化解題過程 例 40 求極限3sin220lim xxxx?? 分析 ：此極限若直接用羅必達(dá)法則求解很繁瑣，但是先用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換分子，再用羅必達(dá)法則求解就簡(jiǎn)單多了。 解：當(dāng) ,sin0 xxx ?? 時(shí) 所以在區(qū)間 [sinx,x]上對(duì)函數(shù) xxf 2)( ? 應(yīng)用拉格朗日 中 值 定 理 可 得 )s in(2ln222 s in xxxx ??? ? 其中 x ???sin ，由于當(dāng)則且時(shí) 00s i n0 ??? ?xx 3sin220lim x xxx??=3, )s in(2ln20lim x xxx ???? =30 s inlim2ln20lim x xxx ??? ?? =30 sinlim2ln x xxx ?? =20 3cos1lim2ln x xx ?? = xxx 6sinlim2ln 0? = 62ln 例 41： 求極限x xxx s in s in1t a n10lim ???? 解： 上或在時(shí)，顯然（或當(dāng) ]s i n,[ t a n]t a n,[ s i n)()00,1)( xxxxxfttttf ????滿足拉格朗日定理，得 )s i n( t a n0,t a ns i n,12 s i nt a ns i n1t a n1xxxxxxxx???????????????或 則x xxx s in s in1t a n10lim ????=??? ?? 12sin sintan0lim x xxx =x xxx sin sintan0lim21 ?? =x xxx c os c oss ec0lim212 ?? =0 總 結(jié) 我從一開始寫這篇文章時(shí)對(duì)求極限問題只是有一些膚淺的了解，但是我對(duì)如何使用好羅必達(dá)法則求極限這個(gè)問題很有興趣，通過上網(wǎng)查閱資料對(duì)羅必達(dá)法則的定理，使用方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和研究，然后我才開始著手寫這篇文章。在寫這篇文章的過程中我又 學(xué)到了很多以前還沒掌握好的知識(shí)，對(duì)使用羅必達(dá)法則解題更加熟練了。于此同時(shí)我對(duì)其它的一些求極限的方法也進(jìn)行了研究學(xué)習(xí)，通過將其他求極限方法與羅必達(dá)法則的對(duì)比加強(qiáng)了自己求極限問題的能力。 這篇文章從羅必達(dá)法則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來(lái)解析如何用好羅必達(dá)法則解題，首先詳細(xì)的敘述了定理的內(nèi)容，并給出了定理的證明過程。然后著重強(qiáng)調(diào)了在解題中應(yīng)注意的幾個(gè)問題，這也是如何用好羅必達(dá)法則解題的基礎(chǔ)，只有注意了這些問題才能夠正確的使用羅必達(dá)法則。接著我對(duì)各種類型未定式極限從不同角度選取了正反方面的典型例題進(jìn)行了詳細(xì)的 解析，并在每道題目的開始進(jìn)行了思路分析，在每道題目的末尾進(jìn)行了總結(jié)評(píng)析。從而讓讀者更明白用羅必達(dá)法則解題的思路，步驟。 最后，這篇文章的重點(diǎn)是第三章和第四章，在第三章中我分析了羅必達(dá)法則求不定式極限失效的幾種情況，指出了羅必達(dá)法則解題的局限性。這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)羅必達(dá)法則的過程中常常遇到的棘手問題。只有解決了這些問題才能真正的熟練掌握羅必達(dá)法則并且靈活運(yùn)用它來(lái)解題而第四章正是對(duì)第三章的補(bǔ)充解答。在第四章中我分析了如何克服羅必達(dá)法則的弱點(diǎn)。主要的思路是結(jié)合各種求極限的方法來(lái)解答有一定難度的題目。其中有些題目 是以羅必達(dá)法則為主，輔以其它的解法。也有一些題目主要是用其他求極限方法來(lái)解題，通過化簡(jiǎn)最后再使用了羅必達(dá)法則解題。當(dāng)然并不是每個(gè)題目都必須要使用羅必達(dá)法則來(lái)解答，但是為了加深讀者對(duì)羅必達(dá)法則的理解，我在所有例題中都引進(jìn)了羅必達(dá)法則。 回顧整個(gè)寫作過程，我也遇到了很多困難，花了不少時(shí)間，走了一些彎路。 但是卻很充實(shí)，學(xué)到了不少知識(shí)。我相信一份耕耘，一份收獲。付出總會(huì)有回報(bào)的。 參考文獻(xiàn) [1] 高等數(shù)學(xué)（第 5 版） [M]．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編 [2] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書 （數(shù)三） 李永樂，李正元 主編 [3] 數(shù)學(xué)考試參考書 高等教育出版社 [4] 學(xué)習(xí)羅必達(dá)法則應(yīng)注意的問題 吳堅(jiān) [5] 羅必達(dá)法則應(yīng)用 李克勤 [6] 羅必達(dá)法分析 程家國(guó) [7] 例說等價(jià)無(wú)窮小替換求極限 馮月 [8] 淺談求函數(shù)極限的方法 . 馮燕奎 [9] 新發(fā)現(xiàn) 科技信息快報(bào)社編輯出版 [10]科學(xué)家和科學(xué)家的故事 人民郵電出版社 [11] 一類極限的求解 宋金堂 朱喜福等編 . [13] 利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限 王路群 [14] 用泰勒公 式巧解一類未定式極限 趙毅主編 [15] 柳西玲 .許斌編著 .求極限方法全集 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 20xx. [16] [美 ]Herbert Schidt 著 .高等數(shù)學(xué)參考大全 .鄢愛蘭 .鹿江春譯 [M].北京：清華大學(xué)出版社，20xx. [17] [18] [19] [20 [21] Mark O. intelligent Web spiders[A]. 致 謝 在論文即將完成之際，回顧緊張但又充實(shí)的學(xué)習(xí)過程，本人在此向所有關(guān)心我的及幫助我的老師和同學(xué)們致以最真誠(chéng)的感謝。 在本次畢業(yè)設(shè)計(jì)中，特別感謝指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)。 他認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，他都給予我很大的幫助，使我得到了很大的提高，這對(duì)于我以后的工作和學(xué)習(xí)來(lái)說都是一種寶貴的財(cái)富，在此感謝他耐心的輔導(dǎo)。如果沒有他指導(dǎo)，我們就不能較好的完成論文設(shè)計(jì)的任務(wù)。 另外，我還要感謝在這幾年來(lái)所有教導(dǎo)我的老師，他們孜孜不倦的教誨不但讓我學(xué)到了很多知識(shí)，而且讓我掌握了學(xué)習(xí)的方法，更教會(huì)了我做人處事的道理，在此表示感謝。同時(shí)，在大學(xué)期間學(xué)習(xí)中還有很多同學(xué)也給了我不少幫助，這里一并表示感謝。 附錄 附錄 A 英文原文 附錄 B 英文翻譯 附錄 C 關(guān)鍵代碼