【導讀】解極限問題有很多方法，其中未定式極限的求解方法常用羅必達法則。本文將從羅必達法則的定理出發(fā)分析應用羅必達法則求極限應注意的幾個問題；題來分析如何克服羅必達法則運用的弱點，從而選擇恰當、合適的方法來靈活解題。使用羅必達法則解題過程繁瑣..........錯誤!2月2日在巴黎去逝。他一生聰明好學，在15歲時就學會解旋轉線的問題。

　　

【正文】 11 1lim ??? ?xxxx =21ln 1lim ??? ?xe xxx =21lnlim??? ?xxxx =xxx lnlim?? =xx 2lim?? =0 例 36： 求極限 W= ])1ln( 1)1ln( 1[0lim 2 xxxx ????? 解： 將 分 母 先 作 等 價 無 窮 小 替 換 后 再 用 羅 必 達 法 則 ， 其 中)0(~)1ln (,~)1ln ( 2 ???? xxxxxx W= ])1ln ()1ln ( )1ln ()1ln ([0lim 22xxx xxxx ??? ????? =22 )1ln ()1ln (0lim x xxxx ????? = x xxx 211110lim2???? =21)1(1210lim xxx ??? xxxx)1(10lim 2 ???? =21x xxx )1(10lim2 ???? =2121110lim 2 ???? x xx =21 結合泰勒公式簡化解題過程 例 37： 求極限xx exxx sincos0lim 322??? 解 ：將復雜式子 22xe? 和 cosx 用泰勒公式展開 22xe? =1+（ 22x? ） +21 22)2( x? + )( 4xo （ X 0? ） cosx=1 )(24121 442 xoxx ?? 則 cosx 22xe? = )(121 44 xox ?? 因此xx exxx sincos0lim 322??? = xx xoxx s in)(1210lim 344 ??? =121 xxx s in0lim? =121 xx c o s10lim? =121 例 38： 求極限xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? 解 ：因為 )(61211 332 xoxxxe x ????? )(211 333 xoxx ???? 將其代人得： xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? =xxxoxxoxx s in)(21)(610lim3333??????? = 31?xx xoxx x xx s in)(lim31s in0lim303??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31c o s1 30lim302??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31s in60lim30 ?? ?? =2+0 =2 例 39 求極限)1( sin0lim 2 ??? xx ex xx 解：將 )(!31s in 43 xoxxx ??? 代人極限式 原式 = 61?)1( )(0lim 243???? xx ex xox = 61? ])1( )(lim)1(0lim[ 240 ?????? xxxx exxoe x = 61? 01lim0 ??? xx e=61 結合拉格朗日中值定理簡化解題過程 例 40 求極限3sin220lim xxxx?? 分析 ：此極限若直接用羅必達法則求解很繁瑣，但是先用拉格朗日中值定理轉換分子，再用羅必達法則求解就簡單多了。 解：當 ,sin0 xxx ?? 時 所以在區(qū)間 [sinx,x]上對函數(shù) xxf 2)( ? 應用拉格朗日 中 值 定 理 可 得 )s in(2ln222 s in xxxx ??? ? 其中 x ???sin ，由于當則且時 00s i n0 ??? ?xx 3sin220lim x xxx??=3, )s in(2ln20lim x xxx ???? =30 s inlim2ln20lim x xxx ??? ?? =30 sinlim2ln x xxx ?? =20 3cos1lim2ln x xx ?? = xxx 6sinlim2ln 0? = 62ln 例 41： 求極限x xxx s in s in1t a n10lim ???? 解： 上或在時，顯然（或當 ]s i n,[ t a n]t a n,[ s i n)()00,1)( xxxxxfttttf ????滿足拉格朗日定理，得 )s i n( t a n0,t a ns i n,12 s i nt a ns i n1t a n1xxxxxxxx???????????????或 則x xxx s in s in1t a n10lim ????=??? ?? 12sin sintan0lim x xxx =x xxx sin sintan0lim21 ?? =x xxx c os c oss ec0lim212 ?? =0 總 結 我從一開始寫這篇文章時對求極限問題只是有一些膚淺的了解，但是我對如何使用好羅必達法則求極限這個問題很有興趣，通過上網(wǎng)查閱資料對羅必達法則的定理，使用方法等進行了系統(tǒng)的學習和研究，然后我才開始著手寫這篇文章。在寫這篇文章的過程中我又 學到了很多以前還沒掌握好的知識，對使用羅必達法則解題更加熟練了。于此同時我對其它的一些求極限的方法也進行了研究學習，通過將其他求極限方法與羅必達法則的對比加強了自己求極限問題的能力。 這篇文章從羅必達法則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來解析如何用好羅必達法則解題，首先詳細的敘述了定理的內(nèi)容，并給出了定理的證明過程。然后著重強調(diào)了在解題中應注意的幾個問題，這也是如何用好羅必達法則解題的基礎，只有注意了這些問題才能夠正確的使用羅必達法則。接著我對各種類型未定式極限從不同角度選取了正反方面的典型例題進行了詳細的 解析，并在每道題目的開始進行了思路分析，在每道題目的末尾進行了總結評析。從而讓讀者更明白用羅必達法則解題的思路，步驟。 最后，這篇文章的重點是第三章和第四章，在第三章中我分析了羅必達法則求不定式極限失效的幾種情況，指出了羅必達法則解題的局限性。這也是學生在學習羅必達法則的過程中常常遇到的棘手問題。只有解決了這些問題才能真正的熟練掌握羅必達法則并且靈活運用它來解題而第四章正是對第三章的補充解答。在第四章中我分析了如何克服羅必達法則的弱點。主要的思路是結合各種求極限的方法來解答有一定難度的題目。其中有些題目 是以羅必達法則為主，輔以其它的解法。也有一些題目主要是用其他求極限方法來解題，通過化簡最后再使用了羅必達法則解題。當然并不是每個題目都必須要使用羅必達法則來解答，但是為了加深讀者對羅必達法則的理解，我在所有例題中都引進了羅必達法則。 回顧整個寫作過程，我也遇到了很多困難，花了不少時間，走了一些彎路。 但是卻很充實，學到了不少知識。我相信一份耕耘，一份收獲。付出總會有回報的。 參考文獻 [1] 高等數(shù)學（第 5 版） [M]．同濟大學應用數(shù)學系 主編 [2] 數(shù)學復習全書 （數(shù)三） 李永樂，李正元 主編 [3] 數(shù)學考試參考書 高等教育出版社 [4] 學習羅必達法則應注意的問題 吳堅 [5] 羅必達法則應用 李克勤 [6] 羅必達法分析 程家國 [7] 例說等價無窮小替換求極限 馮月 [8] 淺談求函數(shù)極限的方法 . 馮燕奎 [9] 新發(fā)現(xiàn) 科技信息快報社編輯出版 [10]科學家和科學家的故事 人民郵電出版社 [11] 一類極限的求解 宋金堂 朱喜福等編 . [13] 利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限 王路群 [14] 用泰勒公 式巧解一類未定式極限 趙毅主編 [15] 柳西玲 .許斌編著 .求極限方法全集 [M].北京：清華大學出版社， 20xx. [16] [美 ]Herbert Schidt 著 .高等數(shù)學參考大全 .鄢愛蘭 .鹿江春譯 [M].北京：清華大學出版社，20xx. [17] [18] [19] [20 [21] Mark O. intelligent Web spiders[A]. 致 謝 在論文即將完成之際，回顧緊張但又充實的學習過程，本人在此向所有關心我的及幫助我的老師和同學們致以最真誠的感謝。 在本次畢業(yè)設計中，特別感謝指導老師的悉心指導。 他認真負責的工作態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。無論在理論上還是在實踐中，他都給予我很大的幫助，使我得到了很大的提高，這對于我以后的工作和學習來說都是一種寶貴的財富，在此感謝他耐心的輔導。如果沒有他指導，我們就不能較好的完成論文設計的任務。 另外，我還要感謝在這幾年來所有教導我的老師，他們孜孜不倦的教誨不但讓我學到了很多知識，而且讓我掌握了學習的方法，更教會了我做人處事的道理，在此表示感謝。同時，在大學期間學習中還有很多同學也給了我不少幫助，這里一并表示感謝。 附錄 附錄 A 英文原文 附錄 B 英文翻譯 附錄 C 關鍵代碼